Задача 71993 Составить уравнение плоскости,...

648551f2fb2b923089102132

11.06.2023 07:48:36

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (−3, 1, 0) и через прямую x + 2y −
z + 4 = 0, 3x − y + 2z − 1 = 0.

626fab9a354ab65fb2f43abb

11.06.2023 13:16:58

★

У нас есть точка A(-3; 1; 0) и прямая как линия пересечения плоскостей:
{ x + 2y − z + 4 = 0
{ 3x − y + 2z − 1 = 0
Нужно составить уравнение плоскости через точку и прямую.
Найдем на этой прямой две любые точки.
1) z = -3
{ x + 2y + 3 + 4 = 0
{ 3x − y - 6 − 1 = 0
Переносим числа направо:
{ x + 2y = -7
{ 3x - y = 7
Умножаем 2 уравнение на 2:
{ x + 2y = -7
{ 6x - 2y = 14
Складываем уравнения:
7x = 7; x = 1;
Из 2 уравнения:
y = 3x - 7 = 3 - 7 = -4
B(1; -4; -3)

2) z = 4
{ x + 2y - 4 + 4 = 0
{ 3x − y + 8 − 1 = 0
Переносим числа направо:
{ x + 2y = 0
{ 3x − y = -7
Умножаем 2 уравнение на 2:
{ x + 2y = 0
{ 6x − 2y = -14
Складываем уравнения:
7x = -14; x = -2
Из 1 уравнения:
y = -x/2 = -(-2)/2 = 1
C(-2; 1; 4)

Теперь строим плоскость по трём точкам:
A(-3; 1; 0); B(1; -4; -3); C(-2; 1; 4)
[m]\begin{vmatrix}
x+3 & y-1 & z-0 \\
1+3 & -4-1 & -3-0 \\
-2+3 & 1-1 & 4-0 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
[m]\begin{vmatrix}
x+3 & y-1 & z \\
4 & -5 & -3 \\
1 & 0 & 4 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
(x+3)(-5)*4 + (y-1)(-3)*1 + z*4*0 - (x+3)(-3)*0 - (y-1)*4*4 - z(-5)*1 = 0
-20(x + 3) - 3(y - 1) + 0 - 0 - 16(y - 1) + 5z = 0
-20x - 60 - 19y + 19 + 5z = 0
-20x - 19y + 5z - 41 = 0
Можно поменять знаки:
20x + 19y - 5z + 41 = 0