Задача 71941 Иследуйте функцию z=f(x,y) на...
Условие
на экстремум: z=3x3+3y3−9xy+10
Решение
Экстремум функции двух переменных.
1) Необходимое условие экстремума:
Все производные 1 порядка должны быть равны 0.
dz/dx = 9x^2 - 9y = 9(x^2 - y) = 0
dz/dy = 9y^2 - 9x = 9(y^2 - x) = 0
Получаем систему:
{ x^2 - y = 0
{ y^2 - x = 0
Решаем подстановкой:
{ y = x^2
{ x^4 - x = 0
x(x^3 - 1) = 0
x(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0
x1 = 0; y1 = 0; z(0; 0) = 10
x2 = 1; y2 = 1; z(1; 1) = 3 + 3 - 9 + 10 = 7
Нашли две точки: M1(0; 0; 10); M2(1; 1; 7)
2) Достаточное условие экстремума.
Находим производные 2 порядка:
A = d^2z/dx^2 = 18x
B = d^2z/(dxdy) = -9
C = d^2z/dy^2 = 18y
D = A*C - B^2 = 18x*18y - (-9)^2 = 324xy - 81
Если D > 0 и A < 0 – это точка максимума.
Если D > 0 и A > 0 – это точка минимума.
Если D < 0 – это не экстремум, а так называемая "седловая точка".
Если D = 0 – неизвестно, нужны дополнительные исследования.
В точке M1(0; 0; 10) будет:
A = 0
D = -81 < 0
M1 - "седловая точка".
В точке M2(1; 1; 7) будет:
A = 18 > 0
D = 324 - 81 > 0
M2 - точка минимума.