Задача 71906 Решите уравнение /баллов не хватает,...
Условие
Решение
[m]\frac{\log_4(x^2+x-2) - 1}{\log_4(x-1)} = 0[/m]
Область определения:
{ x^2 + x - 2 > 0
{ x - 1 > 0
{ log_4 (x - 1) ≠ 0
Решаем:
{ (x - 1)(x + 2) > 0
{ x > 1
{ x - 1 ≠ 1
Получаем:
{ x ∈ (-oo; -2) U (1; +oo)
{ x ∈ (1; +oo)
{ x ≠ 2
D(X) = (1; 2) U (2; +oo)
Решаем само уравнение.
Так как дробь равна 0, то числитель равен 0.
[m]\log_4(x^2+x-2) - 1 = 0[/m]
[m]\log_4(x^2+x-2) = 1[/m]
x^2 + x - 2 = 4
x^2 + x - 6 = 0
D= 1^2 - 4*1(-6) = 1 + 4*6 = 25 = 5^2
x1 = (-1 - 5)/2 = -6/2 = -3 < 1 - не подходит
x2 = (-1 + 5)/2 = 4/2 = 2 - не подходит.
Ответ: решений нет.
2 задача.
[m]\log_3^2(27x) + \log_3 \frac{x^3}{9} = 17[/m]
Область определения: x > 0
D(X) = (0; +oo)
Преобразуем логарифмы:
[m]\log_3^2(27x) = (\log_3(27x))^2 = (\log_3(27) + \log_3(x))^2 = (3 + \log_3(x))^2[/m]
[m]\log_3 \frac{x^3}{9} = \log_3(x^3) - \log_3(9) = 3\log_3(x) - 2[/m]
Подставляем в уравнение:
[m](3 + \log_3(x))^2 + 3\log_3(x) - 2 = 17[/m]
Делаем замену [m]y = \log_3(x)[/m]
(3 + y)^2 + 3y - 2 - 17 = 0
y^2 + 6y + 9 + 3y - 19 = 0
y^2 + 9y - 10 = 0
(y - 1)(y + 10) = 0
[m]y1 = \log_3(x) = -10[/m]; [m]x1 = 3^{-10} = \frac{1}{3^{10}} = \frac{1}{59049}[/m]
[m]y2 = \log_3(x) = 1[/m]; [m]x2 = 3[/m]
Ответ: x1 = 1/59049; x2 = 3