Задача 71865 ...

636be2bd80504e6c92e70f6e

29.05.2023 21:49:31

Вычислить приближенно с точностью e значение интеграла, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд: ∫ e^(-3x^2) dx, e = 10^(-3)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

30.05.2023 08:30:43

★

[m] ∫^{0,2} _{0}e^{-3x^2}dx=∫^{0,2} _{0}(1+(-3x^2)+\frac{(-3x^2)^2}{2!}+\frac{(-3x^2)^3}{3!}+\frac{(-3x^2)^4}{4!}+...)dx=[/m]

[m]=∫^{0,2} _{0}(1-3x^2+\frac{9x^4}{2}-\frac{27x^6}{6}+\frac{81x^8}{24}+...)dx=(x-x^3+\frac{9}{10}x^5-\frac{9}{14}x^7+\frac{3}{8}x^9+...)|^{0,2} _{0}=[/m]

[m]=0,2-0,2^3+\frac{9}{10}\cdot 0,2^5-\frac{9}{14}\cdot 0,2^7+\frac{3}{8}\cdot 0,2^9+...)[/m]

получили числовой знакочередующийся ряд. Погрешность при замене суммы ряда четырьмя слагаемыми не превышает модуля первого отброшенного слагаемого

[m]=0,2-0,008+0,000287[/m]

Замечаем, что третье слагаемое по модулю меньше требуемой погрешности

[m]0,000287<10^{-3}[/m]

[m] ∫^{0,2} _{0}e^{-3x^2}dx ≈ ∫^{0,2} _{0}(1+(-3x^2))dx=(x-x^3)|^{0,2} _{0}=0,2-0,008[/m]