Задача 71864 ...

636be2bd80504e6c92e70f6e

29.05.2023 21:48:58

Разложить функцию f(х) в ряд Тейлора в окрестности точки x0, . Найти интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложения вычислить приближенно значение функции f(х) в точке x1 ‚ оставляя в разложении только n членов. Оценить погрешность, допускаемую при этом вычислении: f(x) =3√125+x, x0 =0, x1=-2, n=4.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

30.05.2023 08:10:28

★

[m]f(x)=\sqrt[3]{125+x}[/m]

[m]\sqrt[3]{125+x}=\sqrt[3]{125(1+\frac{x}{125}}=5\sqrt{1+\frac{x}{125}}=5\cdot (1+\frac{x}{125})^{\frac{1}{3}}[/m]

[m]m=\frac{1}{3}[/m]

[m]-1 ≤ \frac{x}{125} ≤ 1[/m] ⇒ [m]-125 ≤ x ≤ 125[/m]

[m]5\cdot (1+\frac{x}{125})^{\frac{1}{3}}=5\cdot (1+\frac{1}{3}x+\frac{\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{3}-1)}{1\cdot 2}x^2+\frac{\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{3}-1)\cdot(\frac{1}{3}-2) }{1\cdot 2\cdot 3}x^3+...)[/m]


[m]\sqrt[3]{125+(-2)}=5\cdot (1+\frac{(-2)}{125})^{\frac{1}{3}} ≈5\cdot (1+\frac{1}{3}\cdot(- 2)+\frac{\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{3}-1)}{1\cdot 2}\cdot (-2)^2+\frac{\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{3}-1)\cdot(\frac{1}{3}-2) }{1\cdot 2\cdot 3}\cdot (-2)^3) [/m]считайте

получили числовой знакочередующийся ряд. Погрешность при замене суммы ряда четырьмя слагаемыми не превышает модуля первого отброшенного слагаемого

Отброшенное слагаемое
[m]5\cdot \frac{\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{3}-1)\cdot(\frac{1}{3}-2)(\frac{1}{3}-2) }{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}\cdot (-2)^4 ≈ [/m]считайте