Задача 71843 [b]Требуется с полными объяснениями по...

647261a0f0bb0024a0f99dc2

27 мая 2023 г. в 23:10

Требуется с полными объяснениями по ходу решения.
Найти решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка
1) классическим методом,
2) операторным методом.

exponenta

28 мая 2023 г. в 13:41

★

1)
классическим методом

k²+4k–12=0
D=16–4·(–12)=64

k₁=–6; k₂=2 – корни действительные различные.

y_{общее однород}=С₁e^–6x+C₂e^2x

f(x)=5cos2x

y_{частное неоднород}=Acos2x+Bsin2x

y`_{частное неоднород}=(Acos2x+Bsin2x)=–2Asin2x+2Bcos2x

y``_{частное неоднород}=(–2Asin2x+2Bcos2x)`=–4Acos2x–4Bsin2x


Подставляем в данное уравнение:

–4Acos2x–4Bsin2x+4·(–2Asin2x+2Bcos2x)–12·(Acos2x+Bsin2x)=5cos2x

(–16A+8B)cos2x+(–16B–8A)sin2x=5 cos2x

{–16А+8В=5
{–8А–16В=0

{–32А+16В=10
{–8А–16В=0

–40А=10

А=–1/4

B=1/8

y_{общее неоднород}=y_{общее однород}+y_{частное неоднород}=С₁e^–6x+C₂e^2x+(–1/4)cos2x+(1/8)sin2x


Задача Коши:

y(0)=0

y(0)=С₁e⁰+C₂e⁰+(–1/4)cos0+(1/8)sin0 ⇒ 0=C₁+C₂–(1/4) ⇔ C₁+C₂=(1/4)

y`<sub>общее неоднород</sub>=(С<sub>1</sub>e<sup>–6x</sup>+C<sub>2</sub>e<sup>2x</sup>+(–1/4)cos2x+(1/8)sin2x)`

y`_{общее неоднород}=(–6С₁e^–6x+2C₂e^2x+(1/4)sin2x+(1/8)cos2x


y`(0)=0

0=(–6С₁e⁰+2C₂e⁰+(1/4)sin0+(1/8)cos0 ⇒ –6С₁+2C₂+(1/8)=0

Решаем систему
{C₁+C₂=(1/4)
{–6С₁+2C₂=–(1/8)

⇒
Находим
C₁ =5/64
и
С₂=11/64

y=(5/64)·e^–6x+(11/64)·e^2x+(–1/4)·cos2x+(1/8)·sin2x

б)
Операционным методом здесь не решали....