Задача 71832 z6 (a) Найти границы lim x-->0 (e^x -...

6468b354ec3d7954a9ee30b1

27 мая 2023 г. в 15:13

z6 (a)
Найти границы
lim x––>0 (e^x – e^–x –2x) / (x–sinx)

exponenta

27 мая 2023 г. в 15:28

★

[m]lim_{x → 0}\frac{e^{x}-e^{-x}-2x}{x-sinx}=[/m](0/0)

Неопределенность

По правилу Лопиталя:


[m]=lim_{x → 0}\frac{(e^{x}-e^{-x}-2x)`}{(x-sinx)`}=lim_{x → 0}\frac{e^{x}+e^{-x}-2}{1-cosx}=[/m](0/0)

Неопределенность

По правилу Лопиталя:

[m]=lim_{x → 0}\frac{(e^{x}+e^{-x}-2)`}{(1-cosx)`}=lim_{x → 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{sinx}=[/m](0/0)

Неопределенность

По правилу Лопиталя:

[m]=lim_{x → 0}\frac{(e^{x}-e^{-x})`}{(sinx)`}=lim_{x → 0}\frac{e^{x}+e^{-x}}{cosx}=\frac{e^{0}+e^{-0}}{cos0}=\frac{2}{1}=2[/m]


2 способ

Применяем разложение по формуле Тейлора

[m]lim_{x → 0}\frac{1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)-(1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4))-2x}{x-(x-\frac{x^3}{3!}+o(x^4))}=lim_{x → 0}\frac{\frac{2x^3}{3!}+o(x^4)}{\frac{x^3}{3!}+o(x^4)}=2[/m]