Задача 71737 Решить задачу Коши y(0)=1, y'(0)=0:...
Условие
Решение
y``+4y`+3y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+4k+3=0
D=4
k_(1)=-3; k_(2)=-1 - [i]корни действительные различные[/i]
y=C_(1)*e^(k_(1)x)+C_(2)*e^(k_(2)x)
[b]y= C_(1)* e^(-3x)+C_(2)*e^(-x)[/b] - общее решение однородного.
f(x)=e^(-x)+1-x)
f(x)=f_(1)(x)+f_(2)(x)
f_(1)(x)=e^(-x), тогда
y_(частное_(1) неоднородного)=A*x*e^(-x) ( -1 корень характеристического уравнения, поэтому умножаем на х)
y`_(частное_(1) неоднородного)=A*e^(-x)-Axe^(-x)
y``_(частное_(1) неоднородного)=-Ae^(-x)-Ae^(-x)+Axe^(-x)
Подставляем в уравнение
y``+4y`+3y=e^(-x)
-Ae^(-x)-Ae^(-x)+Axe^(-x)+4*(A*e^(-x)-Axe^(-x))+3*A*xe^(-x)=e^(-x)
5A=1
A=1/5
[b]y_(частное_(1) неоднородного)=(1/5)*x*e^(-x)[/b]
Аналогично,
f_(2)(x)=1-x
y_(частное_(2) неоднородного)=Mx+N
y`_(частное_(2) неоднородного)=M
y``_(частное_(2) неоднородного)=0
Подставляем в уравнение
y``+4y`+3y=1-x
0+4M+3Mx+3N=1-x
3M=-1 ⇒ M=-1/3
4M+3N=1 ⇒ N=7/9
[b]y_(частное_(2) неоднородного)=-(1/3)x+(7/9)[/b]
О т в е т. y=y_(общее однород)+y_(частн_(1) неодн)+у_(частн_(2) неодн)
y= [b]C_(1) *e^(-3x)+C_(2)*e^(-x) +(1/5)*x*e^(-x)-(1/3)x+(7/9)[/b]
Задача Коши:
y(0)=1
y(0)=C_(1) *e^(-3*0)+C_(2)*e^(-0) +(1/5)*0*e^(-x)-(1/3)*0+(7/9)
1= C_(1) +C_(2) +(7/9)
y`=([b]C_(1) *e^(-3x)+C_(2)*e^(-x) +(1/5)*x*e^(-x)-(1/3)x+(7/9)[/b])`
y`=-3C_(1)*e^(-3x)-C_(2)*e^(-x)+(1/5)*e^(-x)-(1/5)*xe^(-x)-(1/3)
y`(0)=0
0=-3C_(1)-C_(2)+(1/5)-(1/3)
Решаем систему двух уравнений:
{1= C_(1) +C_(2) +(7/9)
{0=-3C_(1)-C_(2)+(1/5)-(1/3)
C_(1)=
C_(2)=