Задача 71674 ...
Условие
математика ВУЗ
220
Решение
★
[m]arccos\frac{x}{3}=u[/m] ⇒ [m]du=-\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{3})^2}}\cdot (\frac{x}{3})`dx[/m] ⇒ [m]du=-\frac{1}{\sqrt{9-x^2}dx}[/m]
[m]dv=dx[/m] ⇒ [m]v=x[/m]
[r][m] ∫ udv=u\cdot v- ∫ v \cdot du[/m][/r]
[m] ∫ arccos\frac{x}{3}dx=x\cdot arccos\frac{x}{3}- ∫x (-\frac{1}{\sqrt{9-x^2}})dx= x\cdot arccos\frac{x}{3}-\frac{1}{2}∫\frac{(-2x)}{\sqrt{9-x^2}})dx = x\cdot arccos\frac{x}{3}-\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{9-x^2}+C[/m]
Можно применить замену переменной и увидеть табличный интеграл
t=9-x^2
dt=(9-x^2)`dx
dt=-2xdx ⇒ xdx=-(1/2)dt
[m]∫x (-\frac{1}{\sqrt{9-x^2}})dx= ∫ \frac{(-\frac{1}{2})}{\sqrt{t}}dt[/m] табличный интеграл
