Задача 71490 Для которых значений параметра а функция...

63d026bcf0b2d702a30855bc

15.05.2023 00:32:51

Для которых значений параметра а функция f(x) = x^(3)– ах^(2) + 4ax – 11 растет на всей числовой прямой?

5f3eaa23faf909182968dde0

15.05.2023 08:54:19

★

Функция возрастает в тех числовых промежутках, где ее производная больше нуля:
f(x)=x^(3)-ax^(2)+4ax-11,
f'(x)=3x^(2)-2ax+4a,
f'(x)>0:
3x^(2)-2ax+4a>0.
Квадратный трехчлен с положительным первым коэффициентом (3>0 - ветви параболы направлены вверх) будет больше нуля, если квадратный трехчлен не имеет корней, т.е. если дискриминант квадратного трехчлена отрицательный:
D=4a^(2)-48a,
4a^(2)-48a<0,
a^(2)-12a<0,
a(a-12)<0,
0<a<12,
a ∈ (0;12).
Ответ: (0;12).