Задача 71324 ...

640086d1f5585c3e7f53ab8a

09.05.2023 18:20:09

Записать градиент функции z=x tg(y)/x+1 в точке М (-2;π/4)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

09.05.2023 20:23:43

★

[m]grad z=\frac{ ∂z }{ ∂x }\vec{i}+\frac{ ∂z }{ ∂y }\vec{j}[/m]

Находим частные производные

[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=(\frac{xtgy}{x+1})`_{x}=tgy\cdot \frac{x`\cdot (x+1)-x\cdot (x+1)`}{(x+1)^2}=tgy\cdot \frac{x+1-x}{(x+1)^2}=tgy\cdot \frac{1}{(x+1)^2}[/m]


[m]\frac{ ∂u}{ ∂y }=(\frac{xtgy}{x+1})`_{y}=\frac{x}{x+1}\cdot (tgy)`_{y}=\frac{x}{x+1}\cdot \frac{1}{cos^2y}[/m]



Находим частные производные в точке M(-2;π/4)


[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }|_{M}=tg\frac{π}{4}\cdot \frac{1}{(-2+1)^2}=1[/m]

[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }|_{M}= \frac{(-2)}{(-2)+1}\cdot \frac{1}{cos^2\frac{π}{4}}=4[/m]




[m]grad (z(M))=\vec{i}+4\vec{j}[/m]