Задача 71310 Определить тип дифференциального...

64455e732f80552d83052fe7

9 мая 2023 г. в 10:30

Определить тип дифференциального уравнения.
Если возможно произвести замену для понижения порядка дифференциального уравнения, то нужно воспользоваться этим, а потом в ходе решения обязательно вернуться к исходной переменной.
Помните: в результате интегрирования дифференциального уравнения должно получиться семейство функций, зависящих от двух произвольных постоянных С1 и С2 .

exponenta

9 мая 2023 г. в 11:59

★

1.
Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:

k²+8k+20=0

D=8²–4·20=64–80

√D=4i

k₁=(–8–4i)/2; k₂=(–8+4i)/2

k₁=–4–2i; k₂=–4+2i– корни комплексно–сопряженные
α =–4
β =2

Общее решение однородного уравнения в этом случаем имеет вид:

y_{общее одн.}=e^–x·(С₁cos2x+C₂sin2x)


3.
Линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:

11k²+12k=0


k₁=0; k₂=–12/11– корни действительные различные

Общее решение однородного уравнения в этом случаем имеет вид:

y_{общее одн.}=С₁·e^–0·x+C₂·e^{(–12/11)·x}


2.
[m]y``-2y`\cdot tgx=0[/m]

Дифференциальное уравнение, допускающее понижение порядка

[m]y`=z[/m]

[m]y``=z[/m]

[m]z`-2z\cdot tgx=0[/m] –дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

[m]dz=2z\cdot tgx dx[/m]

[m]\frac{dz}{z}=2tgx dx[/m]

Интегрируем

[m] ∫ \frac{dz}{z}=2 ∫ tgx dx[/m]

[m] ∫ \frac{dz}{z}=2 ∫\frac{sinx}{cosx} dx[/m]

[m] ∫ \frac{dz}{z}=2 ∫\frac{(-d(cosx)}{cosx} dx[/m]


[m]ln|z|=-2ln|cosx|+lnC_{1}[/m]


[m]ln|z|=ln|C_{1}cos^{-2}x|[/m]


[m]z=\frac{C_{1}}{cos^2x}[/m]


[m]y`=\frac{C_{1}}{cos^2x}[/m]

[m]y= ∫ \frac{C_{1}}{cos^2x}dx[/m]


[m]y=C_{1}tgx+C_{2}[/m] – общее решение