Задача 71129 Найти решение задачи Коши y''+3y'-10y =...

64455d442f80552d83052fdf

30 апреля 2023 г. в 19:13

Найти решение задачи Коши

y''+3y'–10y = –20e^xsin2x, y(0) = 0, y'(0) = 8

626fab9a354ab65fb2f43abb

1 мая 2023 г. в 13:28

★

y'' + 3y' – 10y = –20e^x·sin(2x); y(0) = 0; y'(0) = 8
Линейное неоднородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем однородное уравнение.
Характеристическое уравнение:
k² + 3k – 10 = 0
(k + 5)(k – 2) = 0
y_одн = C1·e^–5x + C2·e^2x

Находим частное решение неоднородного уравнения.
y_неодн = –20e^x·(B1·cos(2x) + B2·sin(2x))
Находим y'_неодн и y''_неодн.
y'_неодн = –20[e^x·(B1·cos(2x) + B2·sin(2x)) + e^x·(–2B1·sin(2x) + 2B2·cos(2x))]
y'_неодн = –20e^x·[(B1 + 2B2)·cos(2x) + (–2B1 + B2)·sin(2x)]
y''_неодн = –20[e^x·((B1 + 2B2)·cos(2x) + (–2B1 + B2)·sin(2x)) + e^x·(–2(B1 + 2B2)·sin(2x) + 2(–2B1 + B2)·cos(2x))]
y''_неодн = –20e^x·[(–3B1 + 4B2)·cos(2x) + (–4B1+5B2)·sin(2x)]

Подставляем всё это в наше уравнение.
–20e^x·[(–3B1 + 4B2)·cos(2x) + (–4B1 + 5B2)·sin(2x)] +
+ 3(–20)e^x·[(B1 + 2B2)·cos(2x) + (–2B1 + B2)·sin(2x)] –
– 10(–20)e^x·(B1·cos(2x) + B2·sin(2x)) = –20e^x·sin(2x)
Вносим коэффициенты под скобки.
–20e^x·[(–3B1 + 4B2)·cos(2x) + (–4B1 + 5B2)·sin(2x)] –
– 20e^x·[3(B1 + 2B2)·cos(2x) + 3(–2B1 + B2)·sin(2x)] –
– 20e^x·(–10B1·cos(2x) – 10B2·sin(2x)) = –20e^x·sin(2x)
Приводим подобные:
–20e^x·[(–3B1 + 4B2 + 3B1 + 6B2 – 10B1)·cos(2x) +
+ (–4B1 + 5B2 – 6B1 + 3B2 – 10B2)·sin(2x)] = –20e^x·sin(2x)
Упрощаем:
–20e^x·[(–10B1 + 10B2)·cos(2x) + (–10B1 – 2B2)·sin(2x)] = –20e^x·sin(2x)

Составляем систему. Отдельно коэффициенты при cos(2x), отдельно при sin(2x).
{ –10B1 + 10B2 = 0
{ –10B1 – 2B2 = 1
Решаем:
{ B2 = B1
{ –10B1 – 2B1 = 1
Получаем:
B1 = B2 = –1/12
y_неодн = –20/(–12)e^x·(cos(2x) + sin(2x))
y_неодн = 5/3·e^x·(cos(2x) + sin(2x))

Окончательное решение неоднородного уравнения:
y = y_одн + y_неодн
y = C1·e^–5x + C2·e^2x + 5/3·e^x·(cos(2x) + sin(2x))
y' = –5C1·e^–5x + 2C2·e^2x + 5/3·e^x·(cos(2x) + sin(2x)) + 5/3·e^x·(–2sin(2x) + 2cos(2x))
y' = –5C1·e^–5x + 2C2·e^2x + 5/3·e^x·(3cos(2x) – sin(2x))

Теперь решаем задачу Коши.
y(0) = 0; y'(0) = 8
{ y(0) = C1·e⁰ + C2·e⁰ + 5/3·e⁰·(cos(0) + sin(0))
{ y' = –5C1·e⁰ + 2C2·e⁰ + 5/3·e⁰·(3cos(0) – sin(0))
Решаем:
{ 0 = C1 + C2 + 5/3(1 + 0)
{ 8 = –5C1 + 2C2 + 5/3(3·1 – 0)
Упрощаем:
{ C1 + C2 + 5/3 = 0
{ –5C1 + 2C2 + 5 = 8
Решаем заменой:
{ C2 = –C1 – 5/3
{ –5C1 – 2C1 – 10/3 = 3
–7C1 = 3 + 10/3 = 19/3
C1 = –19/21
C2 = –C1 – 5/3 = –19/21 – 35/21 = –54/21
Я мог бы сократить –54/21 = –18/7, но оставлю одинаковые знаменатели у C1 и C2, и напишу 5/3 = 35/21.
Решение задачи Коши:
y = –19/21·e^–5x + –54/21·e^2x + 35/21·e^x·(cos(2x) + sin(2x))