Задача 70865 ...

643ed0ebfa47a16080a1f24b

18.04.2023 20:19:32

Решите неравенство: log(x+1) 2 ≤ log(3-x) 2

626fab9a354ab65fb2f43abb

18.04.2023 23:14:37

★

[m]log_{x+1}2 ≤ log_{3-x}2[/m]
Область определения:
{ x + 1 > 0
{ x + 1 ≠ 1
{ 3 - x > 0
{ 3 - x ≠ 1
Решаем:
{ x > -1
{ x ≠ 0
{ x < 3
{ x ≠ 2
D(X) = (-1; 0) U (0; 2) U (2; 3)
Решаем неравенство.
Воспользуемся известным свойством логарифмов:
[m]log_a b = \frac{1}{log_b a}[/m]
[m]\frac{1}{log_2 (x+1)} ≤ \frac{1}{log_2 (3-x)}[/m]
Известно свойство дробей: Если числители одинаковы, то,
чем больше знаменатель, тем меньше сама дробь.
Иначе говоря, если одна дробь меньше другой дроби,
то ее знаменатель больше знаменателя другой дроби.
Поэтому можно написать:
[m]log_2 (x+1) ≥ log_2 (3-x)[/m]
Функция y = log_2(x) - возрастающая, потому что 2 > 1.
Чем больше логарифм, тем больше число под логарифмом.
x + 1 ≥ 3 - x
2x ≥ 2
x ≥ 1
Ответ: x ∈ [1; 2) U (2; 3)