Задача 70768 ...

Eswc_414085425

12 апреля 2023 г. в 13:34

уравнение
a² – ax – 2x² – 0,5x – 2a + la + 2,5x |= 0 имеет ровно три различных корня. В ответе укажите количество значений параметра а. удовлетворяющих условию задачи.

exponenta

12 апреля 2023 г. в 14:47

★

Раскрываем знак модуля по определению

1)
Если $a+2,5x ≥ 0$, то | a+2,5x|=a+2,5x

Уравнение принимает вид
a² – ax – 2x² – 0,5x – 2a +a + 2,5x =0

Упрощаем
2x²+(a–2)x–(a²–a)=0

D=((a–2)²+8(a²–a)=a²–4a+4+8a²–8a=9a²–12a+4=(3a–2)²

x₁=(–a+2–3a+2)/4; x₂=(–a+2+3a–2)/4

x₁=–a+1; x₂=a/2

Проверяем выполнение условия
$a+2,5x ≥ 0$

x₁=–a+1

$a+2,5(-a+1) ≥ 0$ ⇒ $a ≤ \frac{5}{3}$

x₂=a/2

$a+2,5\cdot \frac{a}{2} ≥ 0$ ⇒ $a ≥0$

При
a ∈ (– ∞ ; 0) U($\frac{5}{3}$;+ ∞ ) уравнение имеет один корень
при
a ∈ [0;$\frac{5}{3}$] уравнение имеет два корня.


2)
Если $a+2,5x < 0$, то a+2,5x=–a–2,5x

Уравнение принимает вид

a² – ax – 2x² – 0,5x – 2a –a – 2,5x =0

2x²+(a+3)x–(a²–3a)=0

D=(a+3)²+8(a²–3a)=a²+6a+9+8a²–24a=9a²–18a+9=9·(a–1)²=(3a–3)²

x₃=(–a–3–3a+3)/4; x₄=(–a–3+3a–3)/4

x₃=–a; x₄=(a–3)/2

Проверяем выполнение условия
$a+2,5x < 0$

x₃=–a

$a+2,5(-a) < 0$ ⇒ $a > 0$

x₄=(a–3)/2

$a+2,5\cdot \frac{a-3}{2} < 0$ ⇒ $a < \frac{5}{3}$

При
a ∈ (– ∞ ; 0) U($\frac{5}{3}$;+ ∞ ) уравнение имеет один корень
при
a ∈ [0;$\frac{5}{3}]$ уравнение имеет два корня.

Итак,
При
a ∈ (– ∞ ; 0) U($\frac{5}{3}$;+ ∞ ) первое уравнение имеет один корень
при
a ∈ [0;$\frac{5}{3}$] первое уравнение имеет два корня.

При
a ∈a ∈ (– ∞ ; 0] U[$\frac{5}{3}$;+ ∞ ) второе уравнение имеет один корень
при
a ∈ (0;$\frac{5}{3})$ второе уравнение имеет два корня.

О т в е т. a =0 и а=$\frac{5}{3}$ уравнение имеет три корня