Задача 70733 ...

640cfc6c1fe33578c09d97f5

10.04.2023 17:00:12

Используя формулу бинома Ньютона в разложении степени
(X^(3)+2×(1/(x^(0,5))))^(182) найдите член, содержащий x^(7)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

10.04.2023 17:28:34

★

Формула бинома Ньютона:

(a+b)^(n)=C^(0)_(n)a^(n)b^(0)+C^(1)_(n)a^(n-1)b^(1)+C^(2)_(n)a^(n-2)b^2+...+[red]C^(k)_(n)a^(n-k)b^(k)[/red] +...+C^(n)_(n)b^(n)

T_(k)=[red]C^(k)_(n)a^(n-k)b^(k) [/red]


Найдем k.
[m]a=x^3[/m]
[m]b=2\cdot \frac{1}{x^{0,5}}[/m]
n=182


[m]T_{k}=C^{k}_{182}(x^3)^{182-k}(2\cdot \frac{1}{x^{0,5}})^{k}[/m]

По требованию задачи

[m](x^3)^{182-k}(\frac{1}{x^{0,5}})^{k}=x^7[/m]

Применяем свойства степени: при возведении степени в степень показатели переменожают:

[m]x^{3(182-k)}\cdot x^{-0,5k}=x^7[/m]
Применяем свойства степени: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываем:


[m]x^{3(182-k)+(-0,5k)}=x^7[/m] ⇒

[m]3(182-k)+(-0,5k)=7[/m]

[m]k=154[/m]

[m]T_{154}=C^{154}_{182}(x^3)^{28}(2\cdot \frac{1}{x^{0,5}})^{154}[/m]


[m]T_{154}=\frac{182!}{154!\cdot (182-154)!}\cdot 2^{154}\cdot x^7[/m]

[m]T_{154}=\frac{154!\cdot 155\cdot 156\cdot 157\cdot ...\cdot 182}{154!\cdot 18!}\cdot 2^{154}\cdot x^7[/m]

[m]T_{154}=\frac{155\cdot 156\cdot 157\cdot ...\cdot 182}{18!}\cdot 2^{154}\cdot x^7[/m]