Задача 70650 Даны четыре точки: М1,M2,M3,M0....

11111111221

6 апреля 2023 г. в 21:22

Даны четыре точки: М1,M2,M3,M0. Требуется: 1) написать уравнение плоскости P, проходящей через точки M1,M2 и M3; 2) преобразовать полученное уравнение плоскости P в уравнение плоскости в отрезках и построить её; 3) найти расстояние d(M0,P) от точки M0 до плоскости P. M1 (1,3,0); M2 (4,–1,2); M3 (3,0,1); M0 (4,3,0).

Удачник66

7 апреля 2023 г. в 00:17

★

M1 (1,3,0); M2 (4,–1,2); M3 (3,0,1); M0 (4,3,0).
Уравнение плоскости P = (M1M2M3)
$\begin{vmatrix} x-1 & y-3 & z-0 \\ 4-1 & -1-3 & 2-0 \\ 3-1 & 0-3 & 1-0 \\ \end{vmatrix}=0$

$\begin{vmatrix} x-1 & y-3 & z \\ 3 & -4 & 2 \\ 2 & -3 & 1 \\ \end{vmatrix}=0$
(x–1)(–4)·1 + (y–3)·2·2 + z·3(–3) – (x–1)·2(–3) – (y–3)·3·1 – z·2(–4) = 0
–4(x–1) + 4(y–3) – 9z + 6(x–1) + 3(y–3) + 8z = 0
2(x–1) + 7(y–3) – z = 0
1) P : 2x + 7y – z – 23 = 0

Уравнение плоскости в отрезках выглядит так:
x/a + y/b + z/c = 1
Здесь a, b, c – это отрезки, отсекаемые плоскостью на осях.
В нашем случае:
2x + 7y – z = 23
2) $\frac{x}{23/2} + \frac{y}{23/7} + \frac{z}{-23} = 1$

3) Расстояние от точки M0(x0; y0; z0) до плоскости P:
Ax + By + Cz + D = 0
Можно найти по формуле:
$d(M0; P) = \frac{Ax0 + By0 + Cz0 + D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
В нашем случае: P : 2x + 7y – z – 23 = 0; M0 (4,3,0).
$d(M0; P) = \frac{2 \cdot 4 + 7 \cdot 3 + (-1) \cdot 0 - 23}{\sqrt{2^2+7^2+(-1)^2}} = \frac{8 + 21 + 0 - 23}{\sqrt{4+49+1}} = \frac{6}{\sqrt{54}} = \frac{6 \cdot 3\sqrt{6}}{54} = \frac{\sqrt{6}}{3}$
Ответ: d(M0; P) = √6/3