Условие
Прямая y=kx-6 является касательной к гиперболе f(x)=1/x. Найдите угловой коэффициент k этой прямой.
математика 10-11 класс
12481
Решение
Допустим x0 - точка касания. Известно, что производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной у = kх + b (где k это угловой коэффициент), то есть f'(x0) = k, (1/x0)' = k. Также известно, что в точке x0 общая для обоих функции, из чего следует kx0-6=1/x0. Можно составить систему из двух уравнение.
system{-1/x0^2=k; kx0-6=1/x0}
(-1/x0^2)x0-6=1/x0
-1/x0 - 6 = 1/x0
-6 = 1/x0 + 1/x0
-6 = 2/x0
x0 = -2/6 = -1/3
k = -1/x0^2 = -1/(1/9) = -9
Ответ: -9
Все решения
y = kx+6 прямая является касательной к графику y=1/x, составим уравнение касательной y-y0=(-1/x0^2)(x-x0), угловой коэффициент k = -1/x0^2, а свободный член выражается как y0+1/x0 и он равен по условию задачи 6. Второе уравнение будет иметь вид y0=1/x0 (это условие вытекает из того, что точка касания принадлежит гиперболе). Решая эту систему получим, x0=1/3, подставим в выражение для углового коэффициента k, получим k = - 9.
Написать комментарий
