Задача 70491 Решить смешанные уравнения (отмечены...
Условие
Решение
[m]7^{2tg^2x-2\sqrt{3}tgx}=8^{2\sqrt{3}tgx-2tg^2x}[/m]
[m]7^{2tg^2x-2\sqrt{3}tgx}=((\frac{1}{8})^{-1})^{2\sqrt{3}tgx-2tg^2x}[/m]
[m]7^{2tg^2x-2\sqrt{3}tgx}=(\frac{1}{8})^{2tg^2x-2\sqrt{3}tgx}[/m]
Уравнение вида
[m]a^{f(x)}=b^{f(x)}[/m] сводится к уравнению [m](\frac{a}{b})^{f(x)}=1[/m]
[m]56^{2tg^2x-2\sqrt{3}tgx}=1[/m]
[m]56^{2tg^2x-2\sqrt{3}tgx}=56^{0}[/m]
[m]2tg^2x-2\sqrt{3}tgx=0[/m]
[m]2tgx(tgx-\sqrt{3})=0[/m]
[m]tgx=0[/m] или [m]tgx-\sqrt{3}=0[/m]
Это простейшие уравнения.
Их решение не вызывает затруднений.
Решайте
17.
Применяем формулу
[m]cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}[/m]
Уравнение принимает вид:
[m]25^{\frac{1+cos2x}{2}}-4\cdot 5^{-cos2x}=1[/m]
[m](5^{2})^{\frac{1+cos2x}{2}}-4\cdot 5^{-cos2x}=1[/m]
[m]5^{1+cos2x}-4\cdot 5^{-cos2x}=1[/m]
[m]5\cdot 5^{cos2x}-4\cdot 5^{-cos2x}=1[/m]
Замена переменной [m] 5^{cos2x}=t[/m]; тогда [m] 5^{-cos2x}=\frac{1}{t}[/m]
уравнение:
[m]5t-4\cdot \frac{1}{t}=1[/m]
корни
t_(1)=-0,8; t_(2)=1
Обратный переход:
[m] 5^{cos2x}=1[/m]
[m]cos2x=0[/m]
Это простейшее уравнение, решение не вызывает затруднений.
второе уравнение не имеет корней:
[m] 5^{cos2x}=-0,8[/m]
19.
Дробь равна 0. Чиститель равен 0, знаменатель отличен от нуля
Подкоренное выражение не может быть отрицательным
Cистема:
[m]\left\{\begin {matrix}sin>0\\4^{sin2x}-2^{2\sqrt{3}sinx}=0\end {matrix}\right.[/m]
Решаем второе уравнение:
[m]4^{sin2x}-2^{2\sqrt{3}sinx}=0[/m]
[m]4^{sin2x}-(2^{2})^{\sqrt{3}sinx}=0[/m]
[m]4^{sin2x}-4^{\sqrt{3}sinx}=0[/m]
[m]4^{sin2x}=4^{\sqrt{3}sinx}[/m]
[m]sin2x=\sqrt{3}sinx[/m]
[m]2sinx\cdot cosx=\sqrt{3}sinx[/m]
[m]2sinx\cdot cosx-\sqrt{3}sinx=0[/m]
[m]sinx\cdot (2cosx-\sqrt{3})=0[/m]
[m]sinx\cdot (2cosx-\sqrt{3})=0[/m] или [m]2cosx-\sqrt{3}=0[/m]
Возвращаемся к системе:
[m]\left\{\begin {matrix}sin>0\\sinx=0\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}sin>0\\2cosx-\sqrt{3}=0\end {matrix}\right.[/m]
Первая система не имеет решений
[m]\left\{\begin {matrix}sin>0\\cosx=\frac{\sqrt{3}}{2}\end {matrix}\right.[/m]
[m]x=\frac{π}{6}+2πn, n ∈ [/m] [b]Z[/b]
Отбор корней с помощью неравенства
[m]-\frac{13π}{2} ≤ \frac{π}{6}+2πn ≤ -5π, n ∈ [/m] [b]Z[/b]
Делим на [m]π[/m]
[m]-\frac{13}{2} ≤ \frac{1}{6}+2n ≤ -5, n ∈ [/m] [b]Z[/b]
Прибавляем ко всем частям неравенства: [m] -\frac{1}{6} [/m]
[m]-\frac{13}{2}-\frac{1}{6} ≤ \frac{1}{6}-\frac{1}{6}+2n ≤ -5-\frac{1}{6}, n ∈ [/m] [b]Z[/b]
[m]-\frac{40}{6} ≤ 2n ≤ -\frac{31}{6}, n ∈ [/m] [b]Z[/b]
умножаем на 6
[m]-40 ≤12 n ≤ -31, n ∈ [/m] [b]Z[/b]
Неравенство верно при [b]целом[/b] n=-3
[m]-40 ≤12\cdot (-3) ≤ -31 [/m]
Значит
[m]x=\frac{π}{6}+2π\cdot (-3) =-\frac{35}{6}[/m] - корень, принадлежащий указанному отрезку
