Задача 70344 Граница функции lim sin2x-2x / x^3...

640086d1f5585c3e7f53ab8a

24.03.2023 02:04:58

Граница функции lim sin2x-2x / x^3

5f3ea7e3faf909182968ddd9

24.03.2023 09:11:23

★

[m]lim_{x → 0}\frac{sin2x-2x}{x^3}=\frac{sin2\cdot 0-2\cdot 0}{0^3}=\frac{0}{0}[/m] ( неопределенность)

Применяем правило Лопиталя:

[m]=lim_{x → 0}\frac{(sin2x-2x)`}{(x^3)`}=lim_{x → 0}\frac{(sin2x)`-(2x)`}{(x^3)`}=lim_{x → 0}\frac{(cos2x)\cdot (2x)`-2)}{3x^2}=lim_{x → 0}\frac{2cos2x-2}{3x^2}=[/m]

[m]=\frac{2cos2\cdot 0-2}{3\cdot 0^2}=\frac{0}{0}[/m] ( неопределенность)

Применяем правило Лопиталя:

[m]=lim_{x → 0}\frac{(2cos2x-2)`}{(3x^2)`}=lim_{x → 0}\frac{4\cdot (-sin2x)}{6x}=-\frac{4}{3}lim_{x →0} \frac{sin2x}{2x}=-\frac{4}{3}\cdot 1=-\frac{4}{3}[/m]

Первый замечательный предел

[m]lim_{x →0} \frac{sin2x}{2x}=1[/m]