Задача 70090 Исследовать на сходимость указанные ряды...

63ca5821d865917bef60f83a

14.03.2023 21:15:05

Исследовать на сходимость указанные ряды с положительными членами:

5f3ea7e3faf909182968ddd9

14.03.2023 21:31:10

★

Применяем признак Даламбера

[m]lim_{n → ∞ }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=lim_{n → ∞ }\frac{(n+1)^3 tg\frac{2π}{5^{n+1}}}{n^3 tg\frac{2π}{5^{n}}}=lim_{n → ∞ }\frac{(n+1)^3}{n^3}\cdot \frac{\frac{2π}{5^{n+1}}}{\frac{2π}{5^{n}}}=1\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{5} < 1[/m]

ряд сходится.

Применили следствия первого замечательного предела

[m]lim_{x → 0}\frac{tgx}{x}=1[/m] ⇒ tgx ∼ x при x → 0

[m] tg \frac{2π}{5^{n}} ∼ \frac{2π}{5^{n}}[/m] при n → ∞ [m] \frac{2π}{5^{n}} → 0[/m]