Задача 70082 Найти общее решение (общий интеграл)...
Условие
Решение
1) (x^2 - 1)*dy/dx = xy
dy/y = x dx/(x^2 - 1)
Остается взять интегралы от левой и правой частей.
S dy/y = ln |y|
Интеграл в правой части найдем методом неопределенных коэффициентов.
[m]\frac{x}{x^2-1} = \frac{x}{(x+1)(x-1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1}= \frac{A(x-1) + B(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{(A+B)x+(-A + B)}{(x+1)(x-1)}[/m]
Составляем систему по коэффициентам при степенях x:
{ A + B = 1 (коэффициент при x)
{ -A + B = 0 (свободный член)
Получаем: A = B = 1/2 = 0,5
[m]\frac{x}{x^2-1} = \frac{0,5}{x+1} + \frac{0,5}{x-1} = \frac{1}{2}(\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1})[/m]
[m]\int \frac{x\ dx}{x^2-1} = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1})dx = \frac{1}{2} (ln|x+1| + ln |x-1|) + ln C[/m]
Получаем решение уравнения:
[m]ln |y| = \frac{1}{2} (ln|x+1| + ln |x-1|) + ln C[/m]
[m]ln |y| = \frac{1}{2} ln((x+1)(x-1)) + ln C= \frac{1}{2} ln(x^2-1) + ln C[/m]
[m]ln |y| = ln(\sqrt{x^2-1}) + ln C = ln (C\sqrt{x^2-1})[/m]
Теперь можно избавиться от логарифмов:
y = C*sqrt(x^2-1)
Всё точно, как в аптеке! То есть, как в ответе.
2) dy/dx = e^(x^2)*x*(1 + y^2)
dy/(1 + y^2) = e^(x^2)*x dx
Опять же берем интегралы от левой и правой части.
[m]\int \frac{dy}{1+y^2} = arctg(y)[/m]
Интеграл от левой части решаем заменой:
x^2 = t; dt = 2x dx; x dx = 1/2 dt
[m]\int e^{x^2}x dx = \int e^t \cdot \frac{1}{2} \cdot dt = \frac{1}{2} \int e^t dt = \frac{1}{2} e^t + С = \frac{1}{2} e^{x^2} + С [/m]
Получаем решение уравнения:
arctg(y) = 1/2*e^(x^2) + C = C + e^(x^2)/2
Тоже всё, как в ответе!