Задача 70077 Доказать сходимость ряда и найти его...
Условие
Решение
[m]S_{n}= ∑^{k=n} _{k=0}\frac{7^{k}-2^{k}}{14^{k}}=\frac{7^{1}-2^{1}}{14^{1}}+\frac{7^{2}-2^{2}}{14^{2}}+\frac{7^{3}-2^{3}}{14^{3}}+...++\frac{7^{n}-2^{n}}{14^{n}}=[/m]
делим почленно каждое слагаемое числителя на знаменатель:
[m]=\frac{7^{1}}{14^{1}}-\frac{2^{1}}{14^{1}}+\frac{7^{2}}{14^{2}}-\frac{2^{2}}{14^{2}}+\frac{7^{3}}{14^{3}}-\frac{2^{3}}{14^{3}}+...+\frac{7^{n}}{14^{n}}-\frac{2^{n}}{14^{n}}=[/m]
перегруппировка
[m]=(\frac{7^{1}}{14^{1}}+\frac{7^{2}}{14^{2}}+\frac{7^{3}}{14^{3}}+...+\frac{7^{n}}{14^{n}})-(\frac{2^{1}}{14^{1}}+\frac{2^{2}}{14^{2}}+\frac{2^{3}}{14^{3}}+...+\frac{2^{n}}{14^{n}})=\frac{\frac{7}{14}\cdot (1-(\frac{7}{14})^{n})}{1-\frac{7}{14}}-\frac{\frac{2}{14}\cdot (1-(\frac{2}{14})^{n})}{1-\frac{2}{14}}[/m]
[m]S=lim_{n → ∞ }S_{n}=lim_{n → ∞ }\frac{\frac{7}{14}\cdot (1-(\frac{7}{14})^{n})}{1-\frac{7}{14}}-\frac{\frac{2}{14}\cdot (1-(\frac{2}{14})^{n})}{1-\frac{2}{14}}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}[/m]