Задача 70007 Решите уравнение:5(cos)^5 x+3(sin)^3...
Условие
262
Решение
★
y=5cos^5x+3sin^3x
Исследуем ее с помощью производной на экстремумы
y`=5*5cos^4x*(-sinx)+3*3sin^2x*cosx=25cosx*sinx*(cos^4x+sin^2x)
y`=0
cos^4x+sin^2x=0 ⇒ cos^4x+1-cos^2x=0
cosx=0 или sinx =0 или (cos^4x+sin^2x)=0⇒ cos^4x+1-cos^2x=0 - не имеет корней
x=(π/2)+πn, n ∈ Z или x=πk, k ∈ Z - точки возможного экстремума
⇒
В точках x=2πm, m ∈ Z функция принимает наибольшее значение,
y=5
В точках x=π+2πm, m ∈ Z функция принимает наименьшее значение,
y=-5
-5 ≤ 5cos^5x+3sin^3x ≤ 5
⇒
уравнение
5cos^5x+3sin^3x = 5
имеет корни:
x=2πm, m ∈ Z
Все решения
x=0+2πn, n ∈ Z,
x=2πn, n ∈ Z.