Задача 69898 На графике функции y = f (x) найти...

64086a742046693e18c223da

8 марта 2023 г. в 15:22

На графике функции y = f (x) найти точку, в которой касательная к графику перпендикулярна прямой Ax + By +C = 0
f(x)= 2x³–4x+7 , A =1 , B = 2 , C = −3

626fab9a354ab65fb2f43abb

8 марта 2023 г. в 18:18

★

Функция: f(x)= 2x³ – 4x + 7
Касательная перпендикулярна прямой: x + 2y – 3 = 0
Уравнение в общем виде касательной в точке M0(x0; f0):
y(x) = f0 + f'(x0)·(x – x0)
В нашем случае неизвестна точка M0, зато известно, что касательная параллельна прямой:
y – 2x = 0
y = 2x
Значит, f'(x0) = 2
Производная функции:
f'(x) = 6x² – 4 = 2
6x² = 6
x² = 1

x1 = –1
f1 = f(x1) = f(–1) = 2·(–1) – 4·(–1) + 7 = 9
Уравнение касательной:
y(x) = 9 + 2·(x + 1)
y1(x) = 2x + 11

x2 = 1
f2 = f(x2) = f(1) = 2·1 – 4·1 + 7 = 5
Уравнение касательной:
y(x) = 5 + 2·(x – 1)
y2(x) = 2x + 3

Добавил рисунок. На нем видно, что эти две касательные действительно перпендикулярны прямой x + 2y – 3 = 0 и, что самое главное, они проходят через точи экстремумов функции.

Ответ: y1(x) = 2x + 11; y2(x) = 2x + 3