Задача 69846 Составить уравнение плоскости Р,...

art201090

6 марта 2023 г. в 12:32

Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку А перпендикулярно вектору . Написать ее общее уравнение, а также нормальное уравнение плоскости и уравнение плоскости в отрезках. Составить уравнение плоскости , проходящей через точки А, В, С. Найти угол между плоскостями Р и . Найти расстояние от точки D до плоскости Р.
(0;2;–1) (–1;2;3) (–2;3;–1) (0;4;1)

exponenta

6 марта 2023 г. в 18:43

★

BC=(–2–(–1);3–2;–1–3)=(–1;1;–4)
плоскость Р ⊥ вектору BC
Значит,
n=BC=(–1;1;–4)– нормальный вектор плоскости Р

Уравнение плоскости Р:
А(0;2;–1)
(–1)·(x–0)+1·(y–2)+(–4)·(z–(–1))=0

–x +y–2–4z–4=0

x–y+4z+6=0 –общее уравнение плоскости Р

|n|=√(–1)²+1²+(–4)²=√18=3√2

нормальное уравнение плоскости:


–x +y–4z–6=0 делим на |n|=3√2

x/(–3√2) + y/(3√2)–(4z)/(3√2)–6/(3√2)=0

x·сos α +y·cos β +z·cos γ –p=0

сos α=1/(–3√2)

cos β =1/(3√2)

cos γ =(4/(–3√2)

p=6/(3√2)



уравнение плоскости в отрезках

–x +y–4z–6=0

–x +y–4z=6

Делим на 6

(–1/6)x+(1/6)y–(4/6)z=1

(x/(–6)) + (y/6)+ (x/(–3/2))=1 –уравнение плоскости в отрезках


2.
Пусть M(x;y;z) – произвольная точка плоскости Р₁

Тогда векторы
AM=(x–0;y–2;z–(–1))=(x;y–2;z+1)
AB=(–1–0;2–2;3–(–1))=(–1;0;4)
AC=(–2–0;3–2;–1–(–1))=(–2;1;0)

КОМПЛАНАРНЫ

Значит, их смешанное произведение равно 0, т.е
Определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0


$\begin {vmatrix} x-0&y-2&z+1\\-1&0&4\\-2&1&0\end {vmatrix}=0$

Раскрываем определитель и получаем уравнение:

–4х–8у–z+15=0