Задача 69564 Треугольник АВС равнобедренный, AB = BC...

63ef70401b76f2037e4d48cd

24 февраля 2023 г. в 19:15

Треугольник АВС равнобедренный, AB = BC = 1, угол ABC = 36°. Биссектрисы АК и СМ пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника АМО.

626fab9a354ab65fb2f43abb

24 февраля 2023 г. в 20:43

★

Рисунок прилагается.
AB = BC = 1; угол ABC = 36°,
cos 36° = (√5 + 1)/4 ≈ 0,809
Углы BAC = BCA = (180° – 36°)/2 = 72°
cos 72° = (√5 – 1)/4 ≈ 0,309
Из теоремы косинусов:
AC² = AB² + BC² – 2·AB·BC·cos ABC
AC² = 1² + 1² – 2·1·1·0,809
AC² = 2 – 2·0,809 = 2 – 1,618 = 0,382
AC = √0,382 ≈ 0,618
Из свойства биссектрис:
AM : MB = AC : BC = 0,618 : 1 = 0,618
MB = AM / 0,618 = AM·1,618
Но AM + MB = AB = 1, поэтому:
AM + AM·1,618 = 1
AM = 1/2,618 = 0,382
Так как AK – биссектриса угла BAC, то:
Угол MAK = KAC = 72°/2 = 36°
Так как CM – биссектриса угла BCA, то:
Угол ACM = MCK = 72°/2 = 36°
В треугольнике AMC угол
AMC = 180° – ACM – MAC = 180° – 36° – 72° = 72°
В треугольнике AMO угол
AOM = 180° – OAM – OMA = 180° – 36° – 72° = 72°
Таким образом, треугольник AOM ∼ ABC по 3 углам.
Коэффициент подобия равен:
AM : AB = 0,382 : 1 = 0,382
AO = AM = 0,382
MO = 0,382·AC = 0,382·0,618 = 0,236
Периметр:
P(AMO) = 2·0,382 + 0,236 = 0,764 + 0,236 = 1
Ответ: P(AMO) = 1
Похоже, задача олимпиадная.
Через большую задницу получаем очень простой ответ.
Типично для олимпиадных задач.

exponenta

25 февраля 2023 г. в 08:39

∠ A= ∠ C=(180 ° –36 ° )/2=144 ° /2=72 °

. Биссектрисы АК и СМ делят эти углы пополам.

Значит, Δ АКB – равнобедренный.
BK=AK
Δ CMB – равнобедренный.
BM=MC

⇒
MO=OK
АО=СО


MO+AO=MO+OC=MC

P _{Δ AMO}=AM+MO+AO=AM+MC=AM+MB=AB=1

так как
MO+AO=MO+OC=MC