Задача 69395 Дана последовательность 4:5:7;11;18...,...

63e7d226bf95152ff9ee1ed2

19.02.2023 16:48:47

Дана последовательность 4:5:7;11;18..., первый член последовательности 4, а каждый следующий член получают, предыдущий умножая на 2 и от множителя отнимая 3. 1) Игорь выдвинул гипотезу: общая формула последовательности ад=п+3, где пе М. Объяснить, что Игорь не прав 2) Женя выдвинул гипотезу: общая формула последовательности а;=2"'+3, где пе М. Доказать это} используя математическую индукцию.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

19.02.2023 17:35:21

★

1)
a_(1)=1+3=4
a_(2)=2+3=5
a_(3)=3+3=6 - неверно, так как a_(3)=7


2)
a_(n)=2^(n-1)+3

Проверяем для n=1

a_(1)=2^(1-1)+3=4 - верно


Пусть верно для n=k

a_(k)=2^(k-1)+3


Докажем, что

a_(k+1)=2^(k+1-1)+3 - верно, т. е верно, что a_(k+1)=[b]2^(k)+3[/b]


Доказательство:

По условию: ( первая строка)

a_(k+1)=2*a_(k)-3

Так как предположили, что a_(k)=2^(k-1)+3- верно

a_(k+1)=2*(2^(k-1)+3)-3=2*2^(k-1)+6-3=[b]2^(k)+3[/b] - т.е получили то, что и следовало получить

На основании аксиомы ММИ формула верна для любого натурального n