Задача 68961 Пожалуйста помогите 1. Проверить...
Условие
1. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса
Решение
[m] Δ = \begin{vmatrix}
1 & 4 & -1 \\
0 & 5 & 4 \\
3 & -2 & 5 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 1·5·5 + 0·(–2)(–1) + 3·4·4 – 3·5(–1) – 0·4·5 – 1·(–2)·4 =
= 25 + 0 + 48 + 15 – 0 + 8 = 96 ≠ 0
Значит, система совместна и имеет 1 решение.
Решаем методом Крамера:
[m] Δ_{x1} = \begin{vmatrix}
6 & 4 & -1 \\
-20 & 5 & 4 \\
-22 & -2 & 5 \\
\end{vmatrix} = [/m]
6·5·5 + (–20)(–2)(–1) + (–22)·4·4 – (–22)·5(–1) – (–20)·4·5 – (–2)·4·6 =
= 150 – 40 – 352 – 110 + 400 + 48 = 96
[m] Δ_{x2} = \begin{vmatrix}
1 & 6 & -1 \\
0 & -20 & 4 \\
3 & -22 & 5 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 1(–20)·5 + 0(–22)(–1) + 3·6·4 – 3(–20)(–1) – 0·6·5 – 1(–22)·4 =
= –100 + 0 + 72 – 60 – 0 + 88 = 0
[m] Δ_{x3} = \begin{vmatrix}
1 & 4 & 6 \\
0 & 5 & -20 \\
3 & -2 & -22 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 1·5(–22) + 0(–2)·6 + 4(–20)·3 – 3·5·6 – 0·4(–22) – 1(–2)(–20) =
= –110 + 0 – 240 – 90 – 0 – 40 = –480
Получаем результат:
[m]x1 = \frac{Δ_{x1}}{Δ} = \frac{96}{96} = 1[/m]
[m]x2 = \frac{Δ_{x2}}{Δ} = \frac{0}{96} = 0[/m]
[m]x3 = \frac{Δ_{x3}}{Δ} = \frac{-480}{96} = -5[/m]
Решаем методом Гаусса:
[m]\begin{pmatrix}
1 & 4 & -1 & | & 6 \\
0 & 5 & 4 & | & -20 \\
3 & -2 & 5 & | & -22 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 4 & -1 & | & 6 \\
0 & 5 & 4 & | & -20 \\
0 & -14 & 8 & | & -40 \\
\end{pmatrix} = [/m]
[m]= \begin{pmatrix}
1 & 4 & -1 & | & 6 \\
0 & 5 & 4 & | & -20 \\
0 & 7 & -4 & | & 20 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 4 & -1 & | & 6 \\
0 & 5 & 4 & | & -20 \\
0 & 12 & 0 & | & 0 \\
\end{pmatrix} = [/m]
x2 = 0/12 = 0
7x2 – 4x3 = 20
0 – 4x3 = 20
x3 = 20/(–4) = –5
x1 + 4x2 – x3 = 6
x1 + 0 – (–5) = 6
x1 = 6 – 5 = 1
Ответ: x1 = 1; x2 = 0; x3 = –5