Задача 68937 Найдите границу lim(cos3x-cos5x)ctg^2 2x...

63dca59233c39823a5b74389

04.02.2023 14:23:51

Найдите границу lim(cos3x-cos5x)ctg^2 2x

5f3ea7e3faf909182968ddd9

04.02.2023 14:49:43

★

[m]lim_{x → 0}(cos3x-cos5x)\cdot ctg^22x=[/m] непосредственная подстановка [m](cos3\cdot 0-cos5\cdot 0)\cdot ctg^22\cdot 0=0\cdot ∞ [/m] приводит к неопределенности

Устраняем:

Заменим [m] ctg2x=\frac{1}{tg2x}[/m]


[m]lim_{x → 0}\frac{cos3x-cos5x}{tg^22x}=[/m] получаем неопределенность [m]\frac{0}{0}[/m]

Применяем формулу ( см. скрин)

[m]lim_{x → 0}\frac{2sin\frac{3x+5x}{2}sin\frac{5x-3x}{2}}{tg^22x}=lim_{x → 0}\frac{sin4x\cdot sinx}{\frac{sin^22x}{cos^22x}}=[/m]

так как [m]sin4x=2sin2x\cdot cos2x[/m]


[m]=lim_{x → 0}\frac{2sin2x\cdot sinx\cdot cos^32x }{sin^22x}=lim_{x → 0}\frac{2 sinx}{sin2x}\cdot lim_{x → 0}(cos^32x )= [/m]


так как
[m] \lim_{x →0} (cos^32x )=cos0=1[/m];

и
[m]sin2x=2sinx\cdot cosx[/m]



[m]=lim_{x → 0}\frac{ sinx}{sinx\cdot cosx}\cdot 1=1[/m]