Задача 68737 Пусть x = arcsin 3/5. Доказать, что...

63d60f4a3e4f7410a97d3784

29 января 2023 г. в 09:20

Пусть x = arcsin 3/5. Доказать, что число 5¹⁷sin 17x – целое и найти его остаток от деления на 5.

exponenta

29 января 2023 г. в 09:54

★

x = arcsin 3/5 ⇒ sinx=3/5 и x ∈[–π/2;π/2] ⇒

cos²x=1–sin²x

cosx= 4/5

sin2x=2sinx·cosx=2·(3/5)·( 4/5)=24/25 ⇒ cos2x=7/25


sin3x=sin(x+2x)=sinx·cos2x+cosx·sin2x=(3/5)·(7/25)+(4/5)·(24/25)=117/125⇒

cos3x=cos(x+2x)=cosx·cos2x–sinx·sin2x=(4/25)·(7/25)–(3/5)·(24/25)=–44/125


sin5x=sin(3x+2x)=sin3x·cos2x+cos3x·sin2x=(117/125)·(7/25)+(–44/125)·(24/25)= (117·7–44·24)/5⁵

cos5x=cos(3x+2x)=cos3x·cos2x–sin3x·sin2x=(–44/125)·(7/25)·–(117/125)·(24/25)=(–44·7–117·24)/5⁵


См. формулу тройного угла в скрине:

sin15x=sin3·(5x)=3·sin5x–4·(sin5x)³=...

cos15x=4·(cos5x)³–3·cos5x=



sin17x=sin(15x+2x)=sin15x·cos2x+cos15x·sin2x=...


5¹⁷·sin17x=