Задача 68443 Исследуйте функцию f(x)=x^4-4x^3и...
Условие
Решение
1) f(x)=x⁴–4x³ Возьмём производную от обеих частей: f'(x)=d/dx(x⁴–4x³)
2) f'(x)=d/dx(x⁴–4x³) Использую правило дифференцирования d/dx(f+g)=d/dx(f)+d/dx(g): f'(x)=d/dx(x⁴)+d/dx(–4x³)
3) f'(x)=d/dx(x⁴)+d/dx(–4x³) Найдём производную: f'(x)=4x³–4×3x²
4) f'(x)=4x³–4×3x² Вычислим произведение и получим ответ:
Ответ: f'(x)=4x³–12
Найдём производную используя логарифмическое дифференцирование.
1) f(x)=x⁴–4x³ Подставим y вместо f(x): y=x⁴–4x³
2) y=x⁴–4x³ Возьмём натуральный логарифм с обеих частей уравнения: In(y)=In(x⁴–4x³)
3) In(y)=In(x⁴–4x³) Продифференцируем обе части неявного уравнения по x: d/dx(In(y))=d/dx(In(x⁴–4x³))
4) d/dx(In(y))=d/dx(In(x⁴–4x³)) Возьмём производную по правилу дифференцирования сложной функции d/dx(In(y))=d/dy(In(y))×dy/dx: d/dy(In(y))×dy/dx=d/dg(In(g))×d/dx(x⁴–4x³)
5) d/dy(In(y))×dy/dx=d/dg(In(g))×d/dx(x⁴–4x³) Вычисляем производную суммы или разности: 1/y×dy/dx=1/g×(4x³–4×3x²)
6) 1/y×dy/dx=1/g×(4x³–4×3x²) Сделаем обратную замену g=x⁴–4x³: 1/y×dy/dx=1/x⁴–4x³×(4x³–4×3x²)
7) 1/y×dy/dx=1/x⁴–4x³×(4x³–4×3x²) Упростим выражение: 1/y×dy/dx=4x–12/x²–4x
8) 1/y×dy/dx=4x–12/x²–4x Умножим обе части уравнения на y: dy/dx=y×4x–12/x²–4x
9) dy/dx=y×4x–12/x²–4x Подставим исходное уравнение y=x⁴–4x³, чтобы выразить производную только через x и получаем ответ:
Ответ: dy/dx=(x⁴–4x³)×4x–12/x²–4x
Дальше найдём пересечение между осью x/корень.
1) f(x)=x⁴–4x³ Чтобы найти пересечение с осью x/корень, подставьте f(x)=0:
0=x⁴–4x³
2) 0=x⁴–4x³ Поменяем местами стороны уравнения: x⁴–4x³=0
3) x⁴–4x=0 Вынесем за скобки общий множитель x³: x³×(x–4)=0
4) x³×(x–4)=0 Если произведение равно 0, то как минимум один из множителей равен 0:
x³=0
x–4=0
5)
x³=0
x–4=0 Решим уравнение относительно x:
x=0
x=4
6)
x=0
x=4 Если уравнение имеет два решения и получаем ответ:
Ответ: x1=0, x2=4
И так дальше найдём пересечение с осью y.
1) f(x)=x⁴–4x³ Чтобы найти пересечение с осью y, подставим x=0: f(0)=0⁴–4×0
2) f(0)=0⁴–4×0 0 в любой положительной степени равен 0: f(0)=0–4×0
3) f(0)=0–4×0 Любое выражение умноженное на 0, равно 0: f(0)=0–0
4) f(0)=0–0 Удаление 0 не изменяет значение, уберём его из выражения и получаем ответ:
Ответ: f(0)=0
Найдём область определения.
1) f(x)=x⁴–4x³ Областью определения полиномиальной функции является множество всех действительных чисел получим ответ:
Ответ: x ∈ R
Найдём горизонтальные асимптоты, используя пределы.
Ответ: Нет горизонтальных асимптот, поскольку функция не имеет горизонтальных асимптот
Найдём наклонные асимптоты используя пределы.
Ответ: Нет наклонных асимптот, поскольку обе наклонные асимпоты не существуют, функция не имеет наклонных асимптот.
Локальные экстремумы: –27 в точке x=3
Точки перегиба:
(0,0)
(2,–16)
Ни нечётная, ни чётная
Симметрия не относительна координат, оси x, оси y.
Ну и последнее график многочлена на фото.