Задача 68439 Четыре заданий из высшей математики...
Условие
абсолютно непрерывных случайных величин)
Решение
По определению:
[m]M(X)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x\cdot f(x)dx[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):
[m]M(X)= ∫ ^{1}_{0}x\cdot (4x-4x^3)dx=( ∫ ^{1}_{0}(4x^2-4x^4) dx=(4\frac{x^3}{3}-4\frac{x^5}{5})|^{1}_{0}=\frac{8}{15}[/m]
По формуле:
[red]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2[/red]
Считаем
[m]M(X^2)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x^2\cdot f(x)dx[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):
Считаем
[m]M(X^2)= ∫ ^{1}_{0}x^2\cdot (4x-4x^3)dx=∫ ^{1}_{0}(4x^3-4x^5) dx=(4\frac{x^4}{4}-4\frac{x^6}{6})|^{1}_{0}=\frac{1}{3}[/m]
Тогда
[red][m]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=\frac{1}{3}-(\frac{8}{15})^2=\frac{37}{675}[/m][/red]
M(Y)=M(3X+4)=M(3X)+M(4)=3M(X)+4=3*[m]\frac{8}{15}[/m]+4=
D(Y)=D(3X+4)=D(3X)+D(4)=9D(X)+0=9*[red][m]\frac{37}{675}=\frac{37}{75}[/m][/red]
Применяем свойства математического ожидания и дисперсии ( cм. скрин 2)
1.
Так как [m]f (x)=F `(x)[/m]
[m]f(x)=\left\{\begin{matrix}
0,если x ≤ \frac{3π}{4}\\-2sin2x, если \frac{3π}{4}<x≤π \\0, если x > π\end{matrix}\right.[/m]
По определению:
[m]M(X)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }x\cdot f(x)dx[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):
[m]M(X)= ∫ ^{π}_{\frac{3π}{4}}x\cdot (-2sin2x)dx=-2( ∫ ^{π}_{\frac{3π}{4}}x\cdot sin2x dx=[/m]
Интегрируем по частям ( см скрин 1)
[m]=-2(\frac{xcos 2x}{2}+\frac{sin2x}{4})|^{π}_{\frac{3π}{4}}=-πcos2π+\frac{3π}{4}cos(2\cdot \frac{3π}{4})-\frac{1}{2}sin2π+\frac{1}{2}sin(2\cdot \frac{3π}{4})=-π+0-0-\frac{1}{2}=-π-\frac{1}{2}[/m]
