2. Площадь прямоугольника 480 дм?. Найдите ero стороны, если периметр прямоугольника равен 94 дм.
3. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если их сумма равна 46 см, а гипотенуза треугольника 34 см.
4. Разность кубов двух натуральных чисел равна 1603. Найдите эти числа, если их разность равна 7.
4. Сумма кубов двух натуральных чисел равна 1547. Найдите эти числа, если их сумма равна 17.
Числа натуральные, то есть целые и положительные.
Если одно число на 8 больше другого, то это числа 13 и 21.
Можно решить и уравнением:
x(x + 8) = 273
x^2 + 8x - 273 = 0
D/4 = 4^2 - 1(-273) = 16 + 273 = 289 = 17^2
x1 = - 4 - 17 = - 21 < 0 - не подходит.
x2 = - 4 + 17 = 13
x + 8 = 13 + 8 = 21
Ответ: 13 и 21
2) ab = 480
2(a + b) = 94
Получаем систему:
{ ab = 480
{ a + b = 47
По теореме Виета это значит, что а и b это корни уравнения:
x^2 - 47x + 480 = 0
D = 47^2 - 4*480 = 2209 - 1920 = 289 = 17^2
x1 = (47 - 17)/2 = 30/2 = 15
x2 = (47 + 17)/2 = 64/2 = 32
Ответ: стороны прям-ника a = 32 дм, b = 15 дм.
3) Можно составить систему:
{ a + b = 46
{ a^2 + b^2 = 34^2
Можно решить подстановкой:
{ b = 46 - a
{ a^2 + (46 - a)^2 = 1156
a^2 + 2116 - 92a + a^2 - 1156 = 0
2a^2 - 92a + 960 = 0
a^2 - 46a + 480 = 0
D/4 = (-23)^2 - 1*480 = 529 - 480 = 49 = 7^2
a1 = 23 - 7 = 16; b1 = 46 - 16 = 30
a2 = 23 + 7 = 30; b2 = 46 - 30 = 16
Ответ: катеты равны a = 30 см, b = 16 см.
4) Опять составляем систему:
{ a^3 - b^3 = 1603
{ a - b = 7
Разложим разность кубов:
{ (a - b)(a^2 + ab + b^2) = 7*229
{ a - b = 7
Дальше решаем подстановкой:
{ b = a - 7
{ a^2 + ab + b^2 = 229
Получаем:
a^2 + a(a - 7) + (a - 7)^2 = 229
a^2 + a^2 - 7a + a^2 - 14a + 49 - 229 = 0
3a^2 - 21a - 180 = 0
Делим всё на 3:
a^2 - 7a - 60 = 0
D = (-7)^2 - 4*1(-60) = 49 + 240 = 289 = 17^2
a1 = (7 - 17)/2 = - 10/2 = - 5 < 0 - не подходит
a2 = (7 + 17)/2 = 24/2 = 12
b = a - 7 = 12 - 7 = 5
Ответ: 12 и 5.
4) Система:
{ a^3 + b^3 = 1547
{ a + b = 17
Раскладываем сумму кубов:
{ (a + b)(a^2 - ab + b^2) = 17*91
{ a + b = 17
Подстановка:
{ b = 17 - a
{ a^2 - a(17 - a) + (17 - a) ^2 = 91
Получаем:
a^2 - 17a + a^2 + 289 - 34a + a^2 - 91 = 0
3a^2 - 51a + 198 = 0
Делим всё на 3:
a^2 - 17a + 66 = 0
D = (-17)^2 - 4*1*66 = 289 - 264 = 25 = 5^2
a1 = (17 - 5)/2 = 12/2 = 6; b1 = 17 - a = 17 - 6 = 11
a2 = (17 + 5)/2 = 22/2 = 11; b2 = 17 - a = 17 - 11 = 6
Ответ: 6 и 11.