Задача 68342 Две машины движутся по двум взаимно...

63c42766993af02c68ffc96c

15.01.2023 19:21:20

Две машины движутся по двум взаимно перпендикулярным и
прямолинейным дорогам по направлению к перекрестку с постоянными
скоростями 50 км/ч и 100 км/ч.
В начальный момент времени первая машина находилась на расстоянии 200 м от перекрестка, а вторая на расстоянии 300 м.
Через сколько времени расстояние между ними будет минимальным?

5f3ea7e3faf909182968ddd9

15.01.2023 22:53:46

★

АВ=100t
BP=300-100t

MN=50t
NP=200-50t


BN^2=BP^2+PN^2=(300-100t)^2+(200-50t)^2

функцию

f(t)=(300-100t)^2+(200-50t)^2

Исследовать функцию на наименьшее значение

Это квадратичная функция.

Наименьшее значение в вершине параболы


Упрощаем

f(t)=100^2*(3-t)^2+50^2*(4-t)^2

f(t)=50^2*(4*(9-6t+t^2)+16-8t+t^2)

f(t)=50^2*(36-24t+4t^2+16-8t+t^2)

f(t)=50^2*(52-32t+5t^2)


t_(o)=32/10=3,2

Это значит автомобиль проедет за перекресток.

Потому как до точки Р ему ехать 300:100=3 часа.