Задача 68327 Составить уравнение плоскости,...

63c3d50a0fd01e3d4a8619ad

15 января 2023 г. в 13:29

Составить уравнение плоскости, проходящей через ось OZ перпендикулярно плоскости проходящей через точку A(6; –1; 2) и отсекающей на оси абсцисс отрезок а=–3, а на оси аппликат – отрезок c=4

exponenta

15 января 2023 г. в 13:40

★

Плоскость, проходящая через точку A(6; –1; 2)
и отсекающая на оси абсцисс отрезок а=–3,
а на оси аппликат – отрезок c=4,

т. е плоскость проходит через три точки:
A(6; –1; 2)
(–3;0;0)
(0;0;4)

Уравнение плоскости в общем виде

ax+by+cz+d=0

Подставляем координаты точек

6a–b+2c+d=0
–3a+d=0 ⇒ d=3a
4c+d=0 ⇒ d=–4c

3a=–4c

c=–(3/4)a


6a–b+2·(–3/4)a+3a=0

b=(15/2)a

ax+by+cz+d=0
ax+(15/2)ay+(–3/4)az+3a=0

Делим на а и умножаем на 4

4х+30y–3z+12=0

нормальный вектор n=(4;30;–3)


Составить уравнение плоскости, проходящей через ось OZ
перпендикулярно плоскости
4х+30y–3z+12=0
нормальный вектор которой n=(4;30;–3)


Пусть нормальный вектор искомой плоскости N

N ⊥ пл ⇒ N ⊥ любой прямой лежащей в плоскости ⇒ N ⊥ направляющему вектору оси Оz
N ⊥ k

k=(0;0;1)

N ⊥n

Значит,

N= n × k=(4 i+30 j–3 k) × k=

=4 i× k+30 j× k–3 k × k=

=–4 ·j+30·i–3·0


N=(30;–4;0)


Уравнение плоскости, проходящей через точку (0;0;1) оси Оz

с заданным нормальным вектором N=(30;–4;0)


30·х–4·y=0