Задача 68314 Вычислить произведение a(b-c)(a+b+2c)...

Абобус

14 января 2023 г. в 13:49

Вычислить произведение a(b–c)(a+b+2c) (Векторы)

exponenta

14 января 2023 г. в 14:46

★

Это смешанное произведение векторов

$\vec{a} × (\vec{b}-\vec{c})\cdot (\vec{a} + \vec{b}+2\vec{c})=(\vec{a} × \vec{b}-\vec{a} × \vec{c})\cdot (\vec{a} + \vec{b}+2\vec{c}) =$

$=\vec{a} × \vec{b}\cdot \vec{a}+\vec{a} × \vec{b}\cdot \vec{b}+\vec{a} ×\vec{b}\cdot 2\vec{c}-\vec{a} ×\vec{c }\cdot \vec{a}-\vec{a} ×\vec{c }\cdot \vec{b}-\vec{a} ×\vec{c }\cdot 2 \vec{c}=$


$=\underbrace{\vec{a} × \vec{b}\cdot \vec{a}}_{0}+\underbrace{\vec{a} × \vec{b}\cdot \vec{b}}_{0}+\vec{a} ×\vec{b}\cdot 2\vec{c}-\underbrace{\vec{a} ×\vec{c }\cdot \vec{a}}_{0}-\vec{a} ×\vec{c }\cdot \vec{b}-\underbrace{\vec{a} ×\vec{c }\cdot 2 \vec{c}}_{0}=3\vec{a} ×\vec{b}\cdot \vec{c}=3\vec{a} \vec{b}\vec{c}$

так как
$\vec{a} \vec{c } \vec{b}=-\vec{a} \vec{b}\vec{c}$