Задача 68304 Составить уравнение плоскости Р,...

63b7351c7a035d7f4b0c35a3

13.01.2023 20:56:09

Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку А перпендикулярно вектору BC. Написать ее общее уравнение, а также нормальное уравнение плоскости и уравнение плоскости в отрезках. Составить уравнение плоскости P1, проходящей через точки А, В, С. Найти угол между плоскостями Р и P1. Найти расстояние от точки D до плоскости Р.
Координаты точки A(-2;3;5).
Координаты точки B(1;-3;4).
Координаты точки С(7;8;-1).
Координаты точки D(-1;2;-1)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

13.01.2023 22:19:58

★

vector{BC}=(x_(C)-x_(B);y_(C)-y_(B);z_(C)-z_(B))=(7-1;8-(-3);-1-4)=(6;11;-5)

[b]уравнение плоскости Р[/b], проходящей через точку А перпендикулярно вектору BC.

6*(x-(-2))+11*(y-3)+(-5)*(z-5)=0

6x+12+11y-33-5z+25=0

[b]6x+11y-5z+4=0[/b] ⇒ нормальный вектор плоскости P :vector{n}=(6;11;-5)




Пусть M (x;y;z) - произвольная точка плоскости АВС
Тогда векторы
vector{AM}=(x+2;y-3;z-5)
vector{AB}=(1+2;-3-3;4-5)=(3;-6;-1)
vector{AC}=(7+2;8-3;-1-5)=(9;5;-6)

лежат в одной плоскости, значит [b]компланарны.[/b]

Условие компланарности - равенство нулю определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов.

[m]\begin {vmatrix} x+2&y-3&z-5\\3&-6&-1\\9&5&-6\end {vmatrix}=0[/m]

Раскрываем определитель, получаем уравнение:

[b]41x+9y+69z-290=0[/b] ⇒ нормальный вектор плоскости P_(1) :vector{n_(1)}=(41;9;69)


Угол между плоскостями P и P_(1) равен углу между их нормальными векторами:

vector{n_(1)}=(6;11;-5) и vector{n_(1)}=(41;9;69)

Найдем скалярное произведение векторов
vector{n_(1)}* vector{n_(1)}=6*41+11*9+(-5)*69=0

Значит векторы ортогональны.

Угол между плоскостями 90 °