Задача 68291 решить задачу Коши y'' + y =6е^(-t),...
Условие
Решение
у_(общее неодн.)=y_( общее одн.)+y_(част)
Решаем однородное:[m] y``+y=0[/m]
Составляем характеристическое уравнение:
[m]k^2+1=0[/m]
[m]k_{1}=i; k_{2}=-i[/m]– корни комплексно-сопряженные вида [m] α ± βi[/m]
[m]α =0; β=3[/m]
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)*cost+C_(2)sint
Правая часть f(t)=6e^(-t)
частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=Ae^(-t)
Находим производную первого, второго порядка
y`_(част)=(Ae^(-t))`=Ae^(-t)*(-t)`=-Ae^(-t)
y``_(част)=(-Ae^(-t))`=Ae^(-t)
подставляем в данное уравнение:
Ae^(-t)+Ae^(-t)=6e^(-t)
2А=6
А=3
y_(част)=3e^(-t)
О т в е т.
Общее решение неоднородного уравнения:
у=y_(одн.)+y_(част)=С_(1)*cost+C_(2)sint+3e^(-t)
Задача Коши
Начальные условия:
y(0)=3
y`(0)=1
y=С_(1)*cost+C_(2)sint+3e^(-t)
y`=С_(1)*(-sint)+C_(2)*(cost)+3e^(-t)*(-1)
y`=-С_(1)*sint+C_(2)*cost-3e^(-t)
y(0)=3 ⇒ y(0)=С_(1)*cos0+C_(2)sin0+3e^(-0) ⇒
3=C_(1)+3 ⇒ C_(1)=0
y`(0)=1 ⇒ y`(0)=-С_(1)*sin0+C_(2)*cos0-3e^(-0)
1=C_(2)*cos0-3 ⇒ C_(2)=4
у=4*sint+3e^(-t) - решение соответствующее начальным условиям