Задача 68254 Определить тип кривой второго порядка,...

63bedc6b3fdc0d46c8632082

12 января 2023 г. в 15:23

Определить тип кривой второго порядка, составить её каноническое уравнение и найти каноническую систему координат.
x²+4xy+4y²+8x+6y+2=0

626fab9a354ab65fb2f43abb

12 января 2023 г. в 20:29

x² + 4xy + 4y² + 8x + 6y + 2 = 0
Делаем замену с целью избавиться от члена xy:
{ x = x'·cos a – y'·sin a
{ y = x'·sin a + y'·cos a
Подставляем:
(x'·cos a – y'·sin a)² + 4(x'·cos a – y'·sin a)(x'·sin a + y'·cos a) +
+ 4(x'sin a + y'cos a)² + 8(x'cos a – y'sin a) + 6(x'sin a + y'cos a) + 2 = 0
Раскрываем скобки:
x'²·cos² a – 2x'y'·sin a·cos a + y'²·sin² a + 4x'²·sin a·cos a –
– 4x'y'·sin² a + 4x'y'·cos² a – 4y'²·sin a·cos a +
+ 4x'²·sin² a + 8x'y'·sin a·cos a + 4y'²·cos² a +
+ 8x'·cos a – 8y'·sin a + 6x'·sin a + 6y'·cos a + 2 = 0
Выделяем x'², y'², x'y', x', y':
x'²·(cos² a + 4sin a·cos a + 4sin² a) +
+ x'y'·(–2sin a·cos a – 4sin² a + 4cos² a + 8sin a·cos a) +
+ y'²·(sin² a – 4sin a·cos a + 4cos² a) +
+ x'·(8cos a + 6sin a) + y'·(–8sin a + 6cos a) + 2 = 0

Скобку при x'y' приравниваем к 0, находим угол a поворота осей:
–2sin a·cos a – 4sin² a + 4cos² a + 8sin a·cos a = 0
Приводим подобные, умножаем всё уравнение на –1:
4sin² a – 6sin a·cos a – 4cos² a = 0
Делим всё уравнение на 2cos² a:
2tg² a – 3tg a – 2 = 0
Получили квадратное уравнение:
D = (–3)² – 4·2(–2) = 9 + 16 = 25 = 5²
Нас интересует только tg a > 0, чтобы было 0° < a < 90°
tg a = (3 + 5)/4 = 2
a = arctg(2) ≈ 63,435° = 63° 26' 06''
tg² a = 4
1/cos² a = 1 + tg² a = 1 + 4 = 5
cos² a = 1/5
cos a = 1/√5
sin² a = 1 – cos² a = 1 – 1/5 = 4/5
sin a = 2/√5

Подставляем в наше исходное уравнение:
x'²·(1/5 + 4·2/√5·1/√5 + 4·4/5) + x'y'·0 +
+ y'²·(4/5 – 4·2/√5·1/√5 + 4·1/5) +
+ x'·(8·1/√5 + 6·2/√5) + y'·(–8·2/√5 + 6·1/√5) + 2 = 0
Вычисляем:
x'²·(1/5 + 8/5 + 16/5) + y'²·(4/5 – 8/5 + 4/5) +
+ x'·20/√5 – y'·10/√5 + 2 = 0
Заметим, что:
20/√5 = 20√5/5 = 4√5
10/√5 = 2√5
Приводим подобные:
x'²·25/5 + y'²·0 + 20/√5·x' – 10/√5·y' + 2 = 0
5x'² + 4√5·x' – 2√5·y' + 2 = 0
Выделяем полный квадрат:
5(x'² + 2·2√5/5·x' + 4·5/25 – 4·5/25) – 2√5·y' + 2 = 0
5(x'² + 2·2/√5·x' + 4/5 – 4/5) – 2√5·y' + 2 = 0
(x' + 2/√5)² – 2 – 2√5·y' + 2 = 0
(x' + 2/√5)² = 2√5·y'
Это каноническое уравнение параболы.
Вершина: (–2/√5; 0) = (–2√5/5; 0)
Параметр: p = √5 = 5/√5
Фокус: (p + x0; y0) = (5/√5 – 2/√5; 0) = (3/√5; 0) = (3√5/5; 0)
Директриса: x' = –p/2 + x0 = –3√5/10 – 2√5/5 = –7√5/10
Рисунок прилагается.