Задача 68216 log8(x^4-16) = log5(4-8x+x^3) + 1...
Условие
Решение
Область определения:
{ x^4 - 16 > 0
{ x^3 - 8x + 4 > 0
Решаем:
{ (x-2)(x+2)(x^2 + 4) > 0
{ x1 ≈ - 3,051; x2 ≈ 0,517; x3 ≈ 2.534
Получаем:
{ x ∈ (-oo; -2) U (2; +oo)
{ x ∈ (-3,051; 0,517) U (2,534; +oo)
Область определения:
x ∈ (-3,051; -2) U (2,534; +oo)
Решаем само уравнение:
log_8 (x^4 - 16) = log_5 (4 - 8x + x^3) + log_5 (5)
log_8 (x^4 - 16) = log_5 (5*(4 - 8x + x^3))
У логарифмов есть интересное свойство:
log_a (b) = log_c (b) / log_c (a)
Причём новое основание с имеет только 2 ограничения:
c > 0; c ≠ 1.
Например, можно перейти к десятичным логарифмам:
lg(x^4 - 16)/lg(8) = lg(5x^3 - 40x + 20)/lg(5)
lg(8) ≈ 0,9; lg(5) ≈ 0,7
По правилу пропорции:
0,7lg(x^4 - 16) = 0,9lg(5x^3 - 40x + 20)
7lg(x^4 - 16) = 9lg(5x^3 - 40x + 20)
По свойству логарифма от степени:
lg(x^4 - 16)^7 = lg(5x^3 - 40x + 20)^9
От логарифмов можно избавиться:
(x^4 - 16)^7 = (5x^3 - 40x + 20)^9
(x^4 - 16)^7 - (5x^3 - 40x + 20)^9 = 0
Решить это уравнение я, конечно, не могу.
Вольфрам Альфа показывает 4 корня:
x1 ≈ - 2,826 - подходит по области определения.
x2 ≈ 0,77 - не подходит по области определения.
x3 ≈ 2,834 - подходит по области определения.
x4 ≈ 1953120 - подходит по области определения.
Да, я не ошибся - x4 примерно равен 2 миллионам.
Все решения
