Задача 67890 5 пример кто может сделайте...
Условие
Решение
[m]\left\{\begin{matrix}
x`(t)=-26x(t)+15y(t)\\y`(t)=-50x(t)+29y(t)-6e^{2t} \end{matrix}\right.[/m]
Выразим из первого уравнения [m]y[/m] и подставим во второе уравнение:
[m]\left\{\begin{matrix}y=\frac{26}{15}x+\frac{1}{15}x`(t) \\(\frac{26}{15}x+\frac{1}{15}x`(t))`=-50x(t)+29\cdot (\frac{26}{15}x+\frac{1}{15})x`(t))-6e^{2t} \end{matrix}\right.[/m]
Решаем второе уравнение:
[m](\frac{26}{15}x+\frac{1}{15}x`(t))`=-50x(t)+29\cdot (\frac{26}{15}x+\frac{1}{15})x`(t)-6e^{2t}[/m]
[m]\frac{1}{15}x``(t)-\frac{3}{15}x`(t)-\frac{4}{15}x(t)=-6e^{2t}[/m]
получили линейное [i]неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
[/i]
Решаем однородное уравнение:
[m]\frac{1}{15}x``(t)-\frac{3}{15}x`(t)-\frac{4}{15}x(t)=0[/m]
Cоставляем характеристическое уравнение:
[m]\frac{1}{15}k^2-\frac{3}{15}k-\frac{4}{15}=0[/m]
[m]k^2-3k-4=0[/m]
D=(-3)^2-4*(-4)=9+16=25
[m]k_{1}=-1[/m] или [m]k_{2}=4[/m]
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_(общее однород )=[m]C_{1}e^{k_{1}x} +C_{2}e^{k_{2}x}[/m]
Подставляем найденные
[m]k_{1}=-1[/m] или [m]k_{2}=4[/m]
x_(общее однород)=[m]C_{1}e^{-t} +C_{2}e^{4t}[/m]
Правая часть [m]f(t)=-6\cdot e^{2t}[/m]
Находим частное решение в виде:
x_(частное )=[m]A\cdot e^{2t}[/m]
x`_(частное )=[m]A\cdot ( e^{2t})`[/m] ⇒ x`_(частное )=[m]2A\cdot e^{2t}[/m] ⇒
x``_(частное )=[m](2A\cdot e^{2t})`=2A\cdot (e^{2t})`=4A\cdot e^{2t}[/m]
и подставляем в неоднородное уравнение [m]\frac{1}{15}x``(t)-\frac{3}{15}x`(t)-\frac{4}{15}x(t)=-6e^{2t}[/m]
[m]\frac{1}{15}\cdot 4A\cdot e^{2t}-\frac{3}{15}\cdot 2A\cdot e^{2t} -\frac{4}{15}\cdot A\cdot e^{2t}=-6e^{2t}[/m]
[m](4A-6A-4A)\cdot e^{2t}=-6\cdot e^{2t}[/m]
находим A:
-6A=-6 ⇒ A=1
x_(общее неоднородного)=x_(общее однородного)+x_(частное)=[m]C_{1}e^{-t} +C_{2}e^{4t}+ e^{2t}[/m]
Находим
y_(общее)=[m]\frac{26}{15}x+\frac{1}{15}x`(t) [/m]
y_(общее)=[m]\frac{26}{15}\cdot (C_{1}e^{-t} +C_{2}e^{4t}+ e^{2t})-\frac{3}{15}\cdot (C_{1}e^{-t} +C_{2}e^{4t}+ e^{2t})`-\frac{4}{15}\cdot e^{2t}[/m]
y_(общее)=[m]\frac{29}{15}\cdot C_{1}e^{-t} +\frac{14}{15}C_{2}e^{4t}+\frac{16}{15}\cdot e^{2t}[/m]
Итак, общее решение системы:
[red][m]\left\{\begin{matrix}
x(t)=C_{1}e^{-t} +C_{2}e^{4t}+ e^{2t}\\y(t)=\frac{29}{15}\cdot C_{1}e^{-t} +\frac{14}{15}C_{2}e^{4t}+\frac{16}{15}\cdot e^{2t}\end{matrix}\right.[/m][/red]
Начальные условия:
x(0)=2
y(0)=7
приводят к системе
[m]\left\{\begin{matrix}
x(0)=C_{1}e^{0} +C_{2}e^{0}+ e^{0}\\y(0)=\frac{29}{15}C_{1}e^{0} +\frac{14}{15}C_{2}e^{0}+\frac{16}{15}e^{0}\end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}
2=C_{1}+C_{2}+1\\7=\frac{29}{15}C_{1} +\frac{14}{15}C_{2}+\frac{16}{15}\end{matrix}\right.[/m]
из которой найдем C_(1) и С_(2)
[m]\left\{\begin{matrix}
C_{2}=1-C_{1}\\7=\frac{29}{15}C_{1} +\frac{14}{15}(1-C_{1})+\frac{16}{15}\end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}
C_{2}=-4\\C_{1}=5\end{matrix}\right.[/m]
[red][m]\left\{\begin{matrix}
x(t)=5e^{-t} -4e^{4t}+ e^{2t}\\y(t)=\frac{29}{3}e^{-t} -\frac{56}{15}e^{4t}+\frac{16}{15}\cdot e^{2t}\end{matrix}\right.[/m][/red]