Задача 67850 найдите площадь фигуры ограниченной...

63a54cd01fa7d97ccd728125

23.12.2022 09:54:33

найдите площадь фигуры ограниченной параболой y=x^2-4x+5 и касательной к ней, проведенными через ее точку с абсциссами x=1 и x=3

5f3ea7e3faf909182968ddd9

23.12.2022 10:11:39

★

Уравнение касательной:
[m]y-f(x_{o})=f`(x_{o})\cdot (x-x_{o})[/m]

[m]f(x)=x^2-4x+5[/m]

m]f`(x)=(x^2-4x+5)`=2x-4[/m]



[m]x_{o}=1[/m]

[m]f(x_{o})=f(1)=1^2-4 \cdot 1+5=2[/m]


[m]f`(x_{o})=f`(1)=2\cdot 1-4=-2[/m]

Уравнение касательной в точке с абсциссой [m]x_{o}=1[/m]

[m]y-2=-2\cdot (x-1)[/m] ⇒[red] [m]y=-2x+4[/m] [/red]



[m]x_{o}=3[/m]

[m]f(x_{o})=f(3)=3^2-4 \cdot 3+5=2[/m]


[m]f`(x_{o})=f`(1)=2\cdot 3-4=2[/m]



Уравнение касательной в точке с абсциссой [m]x_{o}=3[/m]

[m]y-2=2\cdot (x-3)[/m] ⇒[red] [m]y=2x-4[/m] [/red]


[m]S=S_{1}+S_{2}= ∫ _{1}^{2}(x^2-4x+5-(-2x+4))dx+ ∫ _{1}^{2}(x^2-4x+5-(2x-4))dx=[/m]


[m] =∫ _{1}^{2}(x^2-4x+5+2x-4)dx+ ∫ _{1}^{2}(x^2-4x+5-2x+4)dx=[/m]


[m] =∫ _{1}^{2}(x^2-2x+1)dx+ ∫ _{1}^{2}(x^2-6x+9)dx=[/m]


[m]=∫ _{1}^{2}(x-1)^2d(x-1)+ ∫ _{1}^{2}(x-3)^2d(x-3)=[/m]


[m]=\frac{(x-1)^3}{3}| _{1}^{2}-\frac{x-3)^3}{3}| _{2}^{3}=[/m]


[m]=\frac{(2-1)^3}{3}-\frac{(1-1)^3}{3}+\frac{(3-3)^3}{3}-\frac{(2-3)^3}{3}=\frac{2}{3}[/m]