Задача 67635 Прямая l задана в пространстве общими...
Условие
каноническое и параметрическое уравнения. Составить уравнение прямой
1
l ,
проходящей через точку М параллельно прямой l, и вычислить расстояние
между ними. Найти проекцию точки М на прямую l и точку пересечения
прямой l и плоскости Р.
Решение
{ 2x - 4y - z + 5 = 0
{ 5x + 2y + z - 4 = 0
Точка M(1; -1; 1), плоскость P : 2x + 7y - z - 3 = 0
Требуется:
1) Написать параметрическое и каноническое уравнения прямой I
2) Написать уравнение прямой I1 || I, проходящей через точку M.
3) Вычислить расстояние между прямыми I и I1.
4) Написать координаты проекции точки M на прямую I.
5) Написать координаты точки B пересечения прямой I и плоскости P.
Решение:
1) Найдём векторное произведение нормальных векторов плоскостей.
Это будет направляющий вектор прямой:
[m] \begin{vmatrix}
i & j & k \\
2 & -4 & -1 \\
5 & 2 & 1 \\
\end{vmatrix} =[/m]
= i*(-4)*1 + j*(-1)*5 + k*2*2 - i*(-1)*2 - j*2*1 - k*5*(-4) = -4i - 5j + 4k + 2i - 2j + 20k =
= i*(-4 + 2) + j*(-5 - 2) + k*(4 + 20) = -2i - 7j + 24k = {-2; -7; 24}
Найдём какую-нибудь точку А, принадлежащую обеим плоскостям,
то есть лежащую на прямой. Для этого решим систему уравнений плоскостей:
{ 2x - 4y - z + 5 = 0
{ 5x + 2y + z - 4 = 0
Пусть будет, например, z = 3. Тогда:
{ 2x - 4y + 2 = 0
{ 5x + 2y - 1 = 0
Решаем подстановкой:
{ x = 2y - 1
{ 10y - 5 + 2y - 1 = 0
12y = 6
y = 6/12 = 0,5
x = 2y - 1 = 2*0,5 - 1 = 0
A(0; 0,5; 3)
Уравнение прямой каноническое:
[b](x - 0)/(-2) = (y - 0,5)/(-7) = (z - 3)/24[/b]
x/(-2) = (y - 0,5)/(-7) = (z - 3)/24 = t
Уравнения параметрические:
[b]{ x = -2t
{ y = -7t + 0,5
{ z = 24t + 3[/b]
2) Уравнение прямой I1 || I, проходящей через точку M(1; -1; 1):
[b](x - 1)/(-2) = (y + 1)/(-7) = (z - 1)/24[/b]
3) Вычислим определители:
[m]d1 = \begin{vmatrix}
y2 - y1 & z2 - z1 \\
n & p \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
-1 - 0,5 & 1 - 3 \\
-7 & 24
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
-1,5 & -2 \\
-7 & 24
\end{vmatrix} = -1,5 \cdot 24 - (-7)(-2) = -36 - 14 = -50[/m]
[m]d2 = \begin{vmatrix}
z2 - z1 & x2 - x1 \\
p & m \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 - 3 & 1 - 0 \\
24 & -2
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
-2 & 1 \\
24 & -2
\end{vmatrix} = (-2) \cdot (-2) - 24 \cdot 1 = 4 - 24 = -20[/m]
[m]d3 = \begin{vmatrix}
x2 - x1 & y2 - y1 \\
m & n \\
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 - 0 & -1 - 0,5 \\
-2 & -7
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
1 & -1,5 \\
-2 & -7
\end{vmatrix} = 1 \cdot (-7) - (-2) \cdot (-1,5) = -7 - 3 = -10[/m]
sqrt(m^2 + n^2 + p^2) = sqrt((-2)^2 + (-7)^2 + 24^2) = sqrt(4 + 49 + 576) = sqrt(625) = 25
Расстояние между прямыми I и I1:
[m]d = \frac{\sqrt{d1^2 + d2^2 + d3^2}}{\sqrt{m^2 + n^2 + p^2}} = \frac{\sqrt{(-50)^2 + (-20)^2 + (-10)^2}}{25} = \frac{\sqrt{2500 + 400 + 100}}{25} = \frac{\sqrt{3000}}{25} = \frac{10\sqrt{30}}{25} =0,4\sqrt{30}[/m]
[b]d = 0,4sqrt(30)[/b]
4) Чтобы найти проекцию точки M(1; -1; 1) на прямую I: x/(-2) = (y - 0,5)/(-7) = (z - 3)/24,
запишем параметрические уравнения прямой:
{ x = -2t
{ y = -7t + 0,5
{ z = 24t + 3
Рассмотрим точку N(x; y; z), которая и является проекцией точки M на прямую I.
Это значит, что прямая (MN) перпендикулярна к прямой I.
Направляющий вектор прямой (MN):
(MN) = {-2t - 1; -7t + 0,5 + 1; 24t + 3 - 1} = {-2t - 1; -7t + 1,5; 24t + 2}
Так как прямые перпендикулярны, их скалярное произведение равно 0:
(-2t - 1)(-2) + (-7t + 1,5)(-7) + (24t + 2)*24 = 0
4t + 2 + 49t - 10,5 + 576t + 48 = 0
629t + 39,5 = 0
t = -39,5/629 = -79/1258
Координаты точки N:
{ x = -2t = 2*79/1258 = 79/629
{ y = -7t + 0,5 = (7*79+629)/1258 = 1182/1258 = 591/629
{ z = 24t + 3 = (-24*79+3*1258)/1258 = 1878/1258 = 939/629
[b]N(79/629; 591/629; 939/629)[/b]
5) Чтобы найти точку пересечения прямой I и плоскости P,
запишем прямую как пересечение плоскостей и получим систему:
{ 2x - 4y - z + 5 = 0
{ 5x + 2y + z - 4 = 0
{ 2x + 7y - z - 3 = 0
Поставим уравнения в другом порядке:
{ 2x - 4y - z + 5 = 0
{ 2x + 7y - z - 3 = 0
{ 5x + 2y + z - 4 = 0
Умножаем 2 уравнение на -1 и складываем с 1 уравнением.
Умножаем 1 уравнение на -5, а 3 уравнение на 2 и складываем их:
{ 2x - 4y - z + 5 = 0
{ 0x - 11y + 0z + 8 = 0
{ 0x + 24y + 7z - 33 = 0
Из 2 уравнения: y = 8/11
Из 3 уравнения: 7z = 33 - 24*8/11 = (363 - 192)/11 = 171/11
z = 171/77
y = 56/77
Из 1 уравнения: 2x = 4*56/77 + 171/77 - 5 = 224/77 + 171/77 - 385/77 = 10/77
x = 5/77
[b]B(5/77; 56/77; 171/77)[/b]
Все решения
5x+2y+z–4=0 ⇒ vector{n_(2)}=(5;2;1)
vector{q}=vector{n_(1)} × vector{n_(2)}- направляющий вектор прямой
vector{q}=[m]\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&-4&-1\\5&2&1\end {vmatrix}=-4\vec{i}-5\vec{j}+4\vec{k}+20\vec{k}+2\vec{i}-2\vec{j}=-2\vec{i}-7\vec{j}+24\vec{k}[/m]
vector{q}=(-2;-7;24)
Найдем точку, принадлежащую прямой. Таких точек бесчисленное множество.
Пусть, первая координата
х=0
Тогда из системы уравнений находим две другие координаты
{-4y–z+5=0 ⇒z=-4y+5 и подставляем во второе
{2y+z–4=0
2y+(-4y+5)-4=0
-2y+1=0
y=1/2
z=3
M_(o)(0; 1/2;3 )
[m]\frac{x-0}{-2}=\frac{y-(1/2)}{-7}=\frac{z-3}{24}[/m] - каноническое уравнение прямой [i]l[/i]
Параллельные прямые имеют одинаковые направляющие векторы
[m]\frac{x-1}{-2}=\frac{y-(-1)}{-7}=\frac{z-1}{24}[/m] - каноническое уравнение прямой [i]l_(1)[/i]
Чтобы найти проекцию точки М на прямую l составляем уравнение плоскости, перпендикулярной прямой [i]l[/i] и проходящей через точку M (1;-1;1)
Направляющий вектор прямой [i]l[/i] является нормальным вектором плоскости Р
-2*(x-1)-7*(y-(-1))+24*(z-1)=0
Р: [b]-2x-7y+24z-29=0[/b]
Находим точку пересечения прямой [i]l[/i]
[m]\frac{x-1}{-2}=\frac{y-(-1)}{-7}=\frac{z-1}{24}[/m]
и
плоскости P
Для этого решаем систему: