Задача 67626 Составить уравнение плоскости Р,...
Условие
перпендикулярно вектору BC.
Написать ее общее уравнение, а также
нормальное уравнение плоскости и уравнение плоскости в отрезках. Составить
уравнение плоскости P1
, проходящей через точки А, В, С. Найти угол между
плоскостями Р и
P1
.Найти расстояние от точки D до плоскости Р.
Решение
Требуется:
1) Найти вектор BC.
2) Составить уравнение плоскости P, перпендикулярной вектору BC.
3) Написать общее, нормальное и уравнение в отрезках плоскости P.
4) Написать уравнение плоскости P1 = (ABC).
5) Найти угол между плоскостями P и P1.
6) Найти расстояние от точки D до плоскости P.
Решение:
1) Прямая (BC) : [m]\frac{x+1}{0+1} = \frac{y-2}{3-2} =\frac{z-0}{3-0}[/m]
[m]\frac{x+1}{1} = \frac{y-2}{1} =\frac{z}{3}[/m]
Направляющий вектор [b](BC) : {1; 1; 3}[/b]
2) Направляющий вектор (BC) - это нормальный вектор для плоскости P.
Уравнение плоскости P, проходящей через A(2; 2; 3) и перпендикулярной (BC): {1; 1; 3}:
1(x - 2) + 1(y - 2) + 3(z - 3) = 0
x - 2 + y - 2 + 3z - 9 = 0
[b]P : x + y + 3z - 13 = 0[/b]
3) Общее уравнение плоскости P: x + y + 3z - 13 = 0
sqrt(A^2 + B^2 + C^2) = sqrt(1^2 + 1^2 + 3^2) = sqrt(11)
Нормальное уравнение плоскости P: [m]\frac{1}{sqrt(11)} x + \frac{1}{sqrt(11)} y + \frac{3}{sqrt(11)} z - \frac{13}{sqrt(11)} = 0[/m]
x + y + 3z = 13
Уравнение плоскости P в отрезках: [m]\frac{x}{13} + \frac{y}{13} + \frac{z}{13/3} = 1[/m]
4) Уравнение плоскости P1 = (ABC) через 3 точки:
[m]\begin{vmatrix}
x-2 & y-2 & z-3 \\
-1-2 & 2-2 & 0-3 \\
0-2 & 3-2 & 3-3 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
[m]\begin{vmatrix}
x-2 & y-2 & z-3 \\
-3 & 0 & -3 \\
-2 & 1 & 0 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]
Раскрываем определитель:
(x-2)*0*0 + (y-2)(-3)(-2) + (z-3)*1(-3) - (x-2)*1(-3) - (y-2)*0(-3) - (z-3)*0(-2) = 0
0 + 6(y-2) - 3(z-3) + 3(x-2) - 0 - 0 = 0
3(x - 3) + 6(y - 2) - 3(z - 3) = 0
Делим всё на 3 и раскрываем скобки:
x - 3 + 2y - 4 - z + 3 = 0
[b]P1 = (ABC) : x + 2y - z - 4 = 0[/b]
5) Угол между плоскостями P: x + y + 3z - 13 = 0 и P1: x + 2y - z - 4 = 0:
[m]cos(\phi) = \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot (-1)}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 3^2}\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{1 + 2 - 3}{\sqrt{11}\sqrt{6}} = \frac{0}{\sqrt{11}\sqrt{6}} = 0[/m]
Угол [b](P; P1) = π/2[/b]
То есть эти плоскости перпендикулярны друг другу.
6) Расстояние от точки D(2; 4; -5) до плоскости P: x + y + 3z - 13 = 0:
[m]d = \frac{|1 \cdot 2 + 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-5) - 13|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 3^2}} = \frac{|2 + 4 - 15 - 13|}{\sqrt{11}} = \frac{20}{\sqrt{11}}[/m]
[b]d = 20sqrt(11)/11[/b]