Задача 67172 найти общее решение диф уравнения...

6382153774d75a096f8127ec

26 ноября 2022 г. в 16:40

найти общее решение диф уравнения подробно методом лоду y''+(y/4)=(tg(x/2))/4[m]y''+\frac{y}{4}=\frac{1}{4}tg\frac{x}{2}[/m]

626fab9a354ab65fb2f43abb

26 ноября 2022 г. в 21:18

★

y'' + 1/4·y = 1/4·tg(x/2)
Линейное неоднородное уравнение 2 порядка.
Однородное уравнение:
y'' + 1/4·y = 0
Характеристическое уравнение:
k² + 1/4 = 0
k1 = –1/2·i; k2 = 1/2·I

Общее решение однородного уравнения:
y(одн) = C1·cos(x/2) + C2·sin(x/2)

Частное решение неоднородного уравнения.
Правая часть нестандартная, поэтому решаем методом вариации произвольной постоянной.
y(неод) = C1(x)·cos(x/2) + C2(x)·sin(x/2)

Обозначаем y1 = cos(x/2); y2 = sin(x/2)
Тогда y1' = –1/2·sin(x/2); y2' = 1/2·cos(x/2)

Решаем систему:
{ C1'(x)·y1 + C2'(x)·y2 = 0
{ C1'(x)·y1' + C2'(x)·y2' = 1/4·tg(x/2)

Подставляем:
{ C1'(x)·cos(x/2) + C2'(x)·sin(x/2) = 0
{ –1/2·C1'(x)·sin(x/2) + 1/2·C2'(x)·cos(x/2) = 1/4·sin(x/2)/cos(x/2)

Подстановка из 1 уравнения:
{ C2'(x) = –C1'(x)·cos(x/2)/sin(x/2)
{ –1/2·C1'(x)·sin(x/2) – 1/2·C1'(x)·cos(x/2)/sin(x/2)·cos(x/2) = 1/4·sin(x/2)/cos(x/2)

Умножаем всё уравнение на –4sin(x/2)
2C1'(x)·sin²(x/2) + 2C1'(x)·cos²(x/2) = –sin²(x/2)/cos(x/2)

В левой части 2C1'(x)·(sin²(x/2) + cos²(x/2)) = 2C1'(x)

2C1'(x) = –sin²(x/2)/cos(x/2) = –(1–cos²(x/2))/cos(x/2)
C1'(x) = –0,5/cos(x/2) + 0,5cos(x/2)
C1(x) находим интегрированием:
C1(x) = –ln|tg(x/4+π/4)| + sin(x/2)

C2'(x) = C1'(x)·cos(x/2)/sin(x/2) = –0,5/sin(x/2) + 0,5cos²(x/2)/sin(x/2)

C2'(x) = –0,5/sin(x/2) + 0,5(1 – sin²(x/2))/sin(x/2) = –0,5sin(x/2)
C2(x) также находим интегрированием:
C2(x) = cos(x/2)

Полное решение неоднородного уравнения:
y(x) = y(одн) + y(неод)
y(x) = C1·cos(x/2) + C2·sin(x/2) + cos(x/2)·(–ln|tg(x/4 + π/4)| + sin(x/2)) + sin(x/2)·cos(x/2)