Задача 66755 4. В равнобедренном прямоугольном...

eqqtory

8 ноября 2022 г. в 18:35

4. В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС известны вершина острого угла А(2; 6) и уравнение противолежащего катета . Составить уравнения двух других сторон.

exponenta

8 ноября 2022 г. в 19:08

★

Уравнение второго катета – уравнение прямой перпендикулярной прямой x–7y+15=0 и проходящей через точку А(2;6)

x–7y+15=0

y=(1/7)x+(15/7)

k_BC=1/7

k=–7

y=–7x+b

Подставляем координаты точки А

6=–7·2+b

b=20

y=–7x+20 – уравнение второго катета



Треугольник равнобедренный, значит гипотенуза образует угол 45 ° с катетами.

Найдем

k_{гипотенузы} =k

k_BC=(1/7)

По формуле:

[m]tgφ=|\frac{k_{2}−k_{1}}{1+k_{1}⋅k_{2}}|[/m]


[m]tg45°=|\frac{k−(\frac{1}{7})}{1+(\frac{1}{7})⋅k}|[/m] ⇒


[m]1=|\frac{k−(\frac{1}{7})}{1+(\frac{1}{7})⋅k}|[/m] ⇒[m]\frac{k−(\frac{1}{7})}{1+(\frac{1}{7})⋅k}= ±1 [/m]


[m]1+\frac{1}{7}k=k-\frac{1}{7}[/m] или [m]1+\frac{1}{7}k=-k+\frac{1}{7}[/m]


[m]k=\frac{4}{3}[/m] или [m]k=-\frac{3}{4}[/m]

Уравнение прямой принимает вид

[m]y=\frac{4}{3}x+m[/m] или [m]y=-\frac{3}{4}x+n[/m]



Чтобы найти m и n подставим координаты точки А (2;6)



[m]6=\frac{4}{3}\cdot 2+m[/m] ⇒ [m]m=\frac{10}{3}[/m] ⇒ [m]y=-\frac{4}{3}x+\frac{10}{3}[/m]


или


[m]6=-\frac{3}{4}\cdot 2+n[/m] ⇒ [m]n=\frac{15}{2}[/m] ⇒ [m]y=-\frac{3}{4}x+\frac{15}{2}[/m]