Задача 66576 исследовать функцию и построить график...
Условие
Решение
1) D(y)=(–∞;+ ∞)
Вертикальных асимптот нет
2) Функция является нечётной.
у(–х)=12*(–х)/(9+(–x)^2)=-12x/(9+x^2)
y(–x)= - y(x)
3)lim_(x→ +∞)f(x)=lim-(x→–∞)f(x)=0
y=0 - горизонтальная асимптота
Наклонной асимптоты нет, так как
k=lim_(x→∞_(f(x))/x=0
4) Точки пересечения с осями координат
С осью ОХ
f(x)=0
12х/(9+х^2)=0
⇒ x=0 и y=0
C осью Оу^
х=0 ⇒ у=0
(0;0) – точка пересечения с осью Ох и с осью Оу.
5)
y`=((12x)`*(9+x^2)-(12x)*(9+x^2)`)/(9+x^2)^2
y`=(12*(9+x^2)-12x*(2x))/(9+x^2)^2
y`=12*(9+x^2-2x^2)/(9+x^2)^2
y`=12*(9-x^2)/(9+x^2)^2
y`=0
9-x^2=0
x= ± 3
Знак производной
____–__ (-3) ___+___ (3) ___-____
x=-3 – точка минимума, производная меняет знак с – на +
x=3- точка максимума, производная меняет знак с +на -
Функция убывает при x∈ (–∞;-3) и при x∈ (3;+∞)
возрастает при x∈ (-3;3)
6)
y``=(y`)`=(12*(9-x^2)/(9+x^2)^2)`
y``=12*[b]([/b](9-x^2)`(9+x^2)^2-(9-x^2)*((9+x^2)^2)`[b])[/b]/(9+x^2)^4
y``=12*(-2x*(9+x^2)^2-(9-x^2)*2(9+x^2)*2x)/(9+x^2)^4
y``=24x*(9+x^2)*(-(9+x^2)-(9-x^2)*2)/(9+x^2)^4
y``=24x*(9+x^2)*(x^2-27)/(9+x^2)^4
y``=0
x^2-27=0
x= ± 3sqrt(3) –точки перегиба, вторая производная при переходе через точки меняет знак .
Функция выпукла вверх на (– ∞ ;–3sqrt(3)) и на (3sqrt(3) ;+ ∞ )
выпукла вниз на (–3sqrt(3);3sqrt(3)) 