Задача 66470 Знайти вектор...
Условие
Решение
vector{a} ⊥ vector{c} ⇒ vector{a} * vector{c} =0 ⇒ 2*x+1*y+(-1)*z=0
vector{b} ⊥ vector{c} ⇒ vector{b} * vector{c} =0 ⇒ -4*x+3*y+3*z=0
|vector{c}|=sqrt(x^2+y^2+z^2)
|vector{c}|=sqrt(35) ⇒ sqrt(x^2+y^2+z^2)=sqrt(35)
Решаем систему трех уравнений:
[m]\left\{\begin {matrix}2x+y-z=0\\-4x+3y+3z=0\\x^2+y^2+z^2=35\end {matrix}\right.[/m]
Умножаем первое уравнение на 3
[m]\left\{\begin {matrix}6x+3y-3z=0\\-4x+3y+3z=0\\x^2+y^2+z^2=35\end {matrix}\right.[/m]
Складываем первое и второе, т.е заменяем одно из них ( например, второе) их суммой:
[m]\left\{\begin {matrix}2x+y-z=0\\2x+6y=0\\x^2+y^2+z^2=35\end {matrix}\right.[/m]
Решаем систему способом подстановки:
из второго выражаем х
подставляем в первое и выражаем z через у
[m]\left\{\begin {matrix}2(-3y)+y-z=0\\x=-3y\\x^2+y^2+z^2=35\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}z=-5y\\x=-3y\\x^2+y^2+z^2=35\end {matrix}\right.[/m]
Подставляем в третье
[m]\left\{\begin {matrix}z=-5y\\x=-3y\\(-3y)^2+y^2+(-5y)^2=35\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}z=-5y\\x=-3y\\y^2=1\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}z=-5\\x=-3\\y=1\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}z=5\\x=3\\y=-1\end {matrix}\right.[/m]
О т в е т. (-3;-5;1) или (3;5;-1)