Задача 65956 Решить неравенство ...
Условие
Решение
3^(x)=t
t > 0
3^(x+1)=3^(x)*3=3*t
3^(x+3)=3^(x)*3^(3)=27*t
9^(x)=t^2
9^(x+(1/2)=9^(x)*9^(1/2)=t^2*3=3t^2
Неравенство примет вид:
[m]\frac{1}{t-1}+\frac{3t^2-27t+3}{t-9} ≥ 3t[/m]
Приводим к общему знаменателю
[m]\frac{t-9}{(t-1)(t-9)}+\frac{(3t^2-27t+3)(t-1)}{(t-1)(t-9)} ≥ \frac{3t(t-1)(t-9)}{(t-1)(t-9)}[/m]
переносим дробь из правой части в левую и сравниваем полученную дробь с нулем:
[m]\frac{t-9+3t^3-27t^2+3t-3t^2+27t-3-3t^3+3t^2+27t^2-27t}{(t-1)(t-9)} ≥0 [/m]
[m]\frac{4t-12}{(t-1)(t-9)} ≥0 [/m]
[m]\frac{4(t-3)}{(t-1)(t-9)} ≥0 [/m]
Решаем методом интервалов:
Находим нули числителя:
При t=3 числитель обращается в 0
Отмечаем эту точку закрашенным кружком
Находим нули знаменателя:
При t=1; t=9 знаменатель обращается в 0
Отмечаем эти точки пустым кружком ( на рис. круглые скобки)
Учитывая t > 0
(0) __-__ (1) __+__ (3)__-__ (9) ____+___
1 < t < 3 или t >9
Обратная замена
3^(0) < 3^(x) <3 или 3^(x) > 9
(0;1)U(2;+ ∞ )
О т в е т. (0;1)U(2;+ ∞ )